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tf

Modelli della funzione di trasferimento

Descrizione

Utilizzare tf per creare modelli di funzioni di trasferimento a valore reale o a valore complesso, o per convertire i modelli di sistemi dinamici in forma di funzioni di trasferimento.

Le funzioni di trasferimento sono una rappresentazione nel dominio della frequenza di sistemi lineari variabili nel tempo. Ad esempio, si consideri un sistema dinamico SISO a tempo continuo rappresentato dalla funzione di trasferimento sys(s) = N(s)/D(s), dove s = jw e N(s) e D(s) sono chiamati rispettivamente i polinomi del numeratore e del denominatore. L'oggetto del modello tf può rappresentare funzioni di trasferimento SISO o MIMO a tempo continuo o discreto.

È possibile creare un oggetto del modello della funzione di trasferimento specificandone direttamente i coefficienti o convertendo un modello di altro tipo (come un modello stato-spazio ss) in forma di funzione di trasferimento. Per ulteriori informazioni, vedere Funzioni di trasferimento.

È inoltre possibile utilizzare tf per creare modelli stato-spazio generalizzati (genss) o modelli stato-spazio incerti (uss (Robust Control Toolbox)).

Creazione

Sintassi

sys = tf(numerator,denominator)

sys = tf(numerator,denominator,ts)

sys = tf(numerator,denominator,ltiSys)

sys = tf(m)

sys = tf(___,Name,Value)

sys = tf(ltiSys)

sys = tf(ltiSys,component)

s = tf('s')

z = tf('z',ts)

Descrizione

sys = tf(numerator,denominator) crea un modello di funzione di trasferimento a tempo continuo, impostando le proprietà Numerator e Denominator. Ad esempio, si consideri un sistema dinamico SISO a tempo continuo rappresentato dalla funzione di trasferimento sys(s) = N(s)/D(s), i cui argomenti di input numerator e denominator sono rispettivamente i coefficienti di N(s) e D(s).

sys = tf(numerator,denominator,ts) crea un modello di funzione di trasferimento a tempo discreto, impostando le proprietà Numerator, Denominator e Ts. Ad esempio, si consideri un sistema dinamico SISO a tempo discreto rappresentato dalla funzione di trasferimento sys(z) = N(z)/D(z), i cui argomenti di input numerator e denominator sono rispettivamente i coefficienti di N(z) e D(z). Per lasciare il tempo di campionamento non specificato, impostare l'argomento di input ts su -1.

sys = tf(numerator,denominator,ltiSys) crea un modello di funzione di trasferimento con proprietà ereditate dal modello di sistema dinamico ltiSys, compreso il tempo di campionamento.

sys = tf(m) crea un modello di funzione di trasferimento che rappresenta il guadagno statico m.

sys = tf(___,Name,Value) imposta le proprietà del modello della funzione di trasferimento utilizzando uno o più argomenti della coppia Name,Value per una qualsiasi delle precedenti combinazioni input-argomento.

sys = tf(ltiSys) converte il modello del sistema dinamico ltiSys n un modello di funzione di trasferimento.

sys = tf(ltiSys,component) converte il component specificato di ltiSys in forma di funzione di trasferimento. Utilizzare questa sintassi solo quando ltiSys è un modello a tempo lineare invariante (LTI) identificato.

s = tf('s') crea la variabile speciale s che può essere utilizzata in un'espressione razionale per creare un modello di funzione di trasferimento a tempo continuo. Utilizzare un'espressione razionale può talvolta risultare più semplice e intuitivo che specificare i coefficienti polinomiali.

z = tf('z',ts) crea la variabile speciale z che può essere utilizzata in un'espressione razionale per creare un modello di funzione di trasferimento a tempo discreto. Per lasciare il tempo di campionamento non specificato, impostare l'argomento di input ts su -1.

Argomenti di input

numerator — Coefficienti del numeratore della funzione di trasferimento

vettore riga | Array di celle Ny x Nu dei vettori riga

Coefficienti del numeratore della funzione di trasferimento, specificati come:

• Un vettore riga di coefficienti polinomiali.

• Un array di celle Ny x Nu di vettori riga atto a specificare una funzione di trasferimento MIMO, dove Ny è il numero di output e Nu è il numero di input.

Quando si crea la funzione di trasferimento, specificare i coefficienti del numeratore in ordine di potenza decrescente. Ad esempio, se il numeratore della funzione di trasferimento è 3s^2-4s+5, specificare numerator come [3 -4 5]. Per una funzione di trasferimento a tempo discreto con numeratore 2z-1, impostare numerator su [2 -1].

È anche una proprietà dell'oggetto tf. Per ulteriori informazioni, vedere Numerator.

denominator — Coefficienti del denominatore della funzione di trasferimento

vettore riga | Array di celle Ny x Nu dei vettori riga

Coefficienti del denominatore, specificati come:

• Un vettore riga di coefficienti polinomiali.

• Un array di celle Ny x Nu di vettori riga atto a specificare una funzione di trasferimento MIMO, dove Ny è il numero di output e Nu è il numero di input.

Quando si crea la funzione di trasferimento, specificare i coefficienti del denominatore in ordine di potenza decrescente. Ad esempio, se il denominatore della funzione di trasferimento è 7s^2+8s-9, specificare denominator come [7 8 -9]. Per una funzione di trasferimento a tempo discreto con denominatore 2z^2+1, impostare denominator su [2 0 1].

È anche una proprietà dell'oggetto tf. Per ulteriori informazioni, vedere Denominator.

ts — Tempo di campionamento

scalare

Tempo di campionamento, specificato come scalare. È anche una proprietà dell'oggetto tf. Per ulteriori informazioni, vedere Ts.

ltiSys — Sistema dinamico

modello di sistema dinamico | array del modello

Sistema dinamico, specificato come modello di sistema dinamico SISO o MIMO o come array di modelli del sistema dinamico. I sistemi dinamici che si possono utilizzare comprendono:

• Modelli LTI numerici a tempo continuo o a tempo discreto, come i modelli tf, zpk, ss o pid.

• Modelli LTI generalizzati o incerti, come i modelli genss o uss (Robust Control Toolbox). (Per utilizzare i modelli incerti è necessario disporre del software Robust Control Toolbox™).

  La funzione di trasferimento risultante presuppone

  • i valori attuali dei componenti sincronizzabili per i blocchi di progettazione del controllo di sincronizzazione.

  • i valori nominali del modello per i blocchi di progettazione del controllo incerto.

• Modelli LTI identificati, come i modelli idtf (System Identification Toolbox), idss (System Identification Toolbox), idproc (System Identification Toolbox), idpoly (System Identification Toolbox) e idgrey (System Identification Toolbox). Per selezionare il componente del modello identificato da convertire, specificare component. Se non si specifica component, tf converte il componente misurato del modello identificato per impostazione predefinita. (Per utilizzare i modelli identificati è necessario disporre del software System Identification Toolbox™).

m — Guadagno statico

scalare | matrice

Guadagno statico, specificato come scalare o matrice. Il guadagno statico o guadagno allo stato stazionario di un sistema rappresenta il rapporto tra l'output e l'input in condizioni di stato stazionario.

component — Componente del modello identificato

'measured' (predefinito) | 'noise' | 'augmented'

Componente del modello identificato da convertire, specificato in uno dei seguenti modi:

• 'measured': convertire il componente misurato di sys.

• 'noise': convertire il componente di rumore di sys

• 'augmented': converte sia il componente misurato che il componente di rumore di sys.

component si applica solo quando sys è un modello LTI identificato.

Per ulteriori informazioni sui modelli LTI identificati e sui relativi componenti misurati e di rumore, vedere Identified LTI Models.

Argomenti di output

sys — Modello del sistema di output

oggetto del modello tf | oggetto del modello genss | oggetto del modello uss

Modello del sistema di output, restituito come:

• Un oggetto del modello della funzione di trasferimento (tf), quando gli argomenti di input numerator e denominator sono array numerici.

• Un oggetto del modello stato-spazio generalizzato (genss), quando gli argomenti di input numerator o denominator includono parametri sincronizzabili, come i parametri realp o le matrici generalizzate (genmat). Per un esempio, vedere Filtro passa-basso sincronizzabile.

• Un oggetto del modello stato-spazio incerto (uss), quando gli argomenti di input numerator o denominator includono parametri incerti. Per utilizzare i modelli incerti è necessario disporre del software Robust Control Toolbox. Per un esempio, vedere Transfer Function with Uncertain Coefficients (Robust Control Toolbox).

Proprietà

Numerator — Coefficienti del numeratore

vettore riga | Array di celle Ny x Nu dei vettori riga

Coefficienti del numeratore, specificati come:

• Un vettore riga dei coefficienti polinomiali in ordine di potenza decrescente (per i valori Variable 's', 'z', 'p' o 'q') in ordine di potenza crescente (per i valori Variable 'z^-1' o 'q^-1').

• Un array di celle Ny x Nu di vettori riga atto a specificare una funzione di trasferimento MIMO, dove Ny è il numero di output e Nu è il numero di input. Ciascun elemento dell'array di celle specifica i coefficienti del numeratore per una data coppia input/output. Se sia Numerator che Denominator sono specificati come array di celle, dovranno avere le stesse dimensioni.

I coefficienti di Numerator possono essere a valore reale o a valore complesso.

Denominator — Coefficienti del denominatore

vettore riga | Array di celle Ny x Nu dei vettori riga

Coefficienti del denominatore, specificati come:

• Un vettore riga dei coefficienti polinomiali in ordine di potenza decrescente (per i valori Variable, i valori 's', 'z', 'p' o 'q') in ordine di potenza crescente (per i valori Variable 'z^-1' o 'q^-1').

• Un array di celle Ny x Nu di vettori riga atto a specificare una funzione di trasferimento MIMO, dove Ny è il numero di output e Nu è il numero di input. Ciascun elemento dell'array di celle specifica i coefficienti del numeratore per una data coppia input/output. Se sia Numerator che Denominator sono specificati come array di celle, dovranno avere le stesse dimensioni.

Se tutte le voci SISO di una funzione di trasferimento MIMO hanno lo stesso denominatore, è possibile specificare Denominator come vettore riga e Numerator come array di celle.

I coefficienti di Denominator possono essere a valore reale o a valore complesso.

Variable — Variabile di visualizzazione della funzione di trasferimento

's' (predefinito) | 'z' | 'p' | 'q' | 'z^-1' | 'q^-1'

Variabile di visualizzazione della funzione di trasferimento, specificata in uno dei seguenti modi:

• 's': predefinita per modelli a tempo continuo

• 'z': predefinita per modelli a tempo discreto

• 'p': equivalente a 's'

• 'q': equivalente a 'z'

• 'z^-1': inversa di 'z'

• 'q^-1': equivalente a 'z^-1'

Il valore di Variable si riflette nella visualizzazione e influisce inoltre sull'interpretazione dei vettori dei coefficienti Numerator e Denominator per i modelli a tempo discreto.

• Per i valori Variable 's', 'z', 'p' o 'q', i coefficienti sono in ordine di potenza decrescente della variabile. Ad esempio, si consideri il vettore riga [ak ... a1 a0]. L'ordine dei polinomi è specificato come $$a_k{z}^k+\mathrm{...}+a_{1}z+a_0$$.

• Per i valori Variable 'z^-1' o 'q^-1', i coefficienti sono in ordine di potenza crescente della variabile. Ad esempio, si consideri il vettore riga [b0 b1 ... bk]. L'ordine dei polinomi è specificato come $$b_0+b_1{z}^{-1}+\mathrm{...}+b_k{z}^{-k}$$.

Ad esempio, vedere Definizione dell'ordinamento dei polinomi nella funzione di trasferimento a tempo discreto, Modello della funzione di trasferimento utilizzando un'espressione razionale e Modello della funzione di trasferimento a tempo discreto utilizzando un'espressione razionale.

IODelay — Ritardo di trasporto

0 (predefinito) | scalare | Array Ny x Nu

Ritardo di trasporto, specificato in uno dei seguenti modi:

• Scalare: specificare il ritardo di trasporto per un sistema SISO o lo stesso ritardo di trasporto per tutte le coppie input/output di un sistema MIMO.

• Array Ny x Nu: specificare ritardi di trasporto separati per ciascuna coppia input/output di un sistema MIMO. In questo caso, Ny è il numero di output e Nu è il numero di input.

Per i sistemi a tempo continuo, specificare i ritardi di trasporto nell'unità di tempo specificata dalla proprietà TimeUnit. Per i sistemi a tempo discreto, specificare i ritardi di trasporto in multipli interi del tempo di campionamento Ts.

InputDelay — Ritardo di input

0 (predefinito) | scalare | Vettore Nu x 1

Ritardo di input per ciascun canale di input, specificato in uno dei seguenti modi:

• Scalare: specificare il ritardo di input di un sistema SISO o lo stesso ritardo per tutti gli input di un sistema a multiplo input.

• Vettore Nu x 1: specificare ritardi di input separati per l'input di un sistema a multiplo input, dove Nu è il numero di input.

Per i sistemi a tempo continuo, specificare i ritardi di input nell'unità di tempo specificata dalla proprietà TimeUnit. Per i sistemi a tempo discreto, specificare i ritardi di input in multipli interi del tempo di campionamento Ts.

Per ulteriori informazioni, vedere Time Delays in Linear Systems.

OutputDelay — Ritardo di output

0 (predefinito) | scalare | Vettore Ny x 1

Ritardo di output per ciascun canale di output, specificato in uno dei seguenti modi:

• Scalare: specificare il ritardo di output di un sistema SISO o lo stesso ritardo per tutti gli output di un sistema a multiplo output.

• Vettore Ny x 1: specificare ritardi di output separati per l'output di un sistema con multiplo output, dove Ny è il numero di output.

Per i sistemi a tempo continuo, specificare i ritardi di output nell'unità di tempo specificata dalla proprietà TimeUnit. Per i sistemi a tempo discreto, specificare i ritardi di output in multipli interi del tempo di campionamento Ts.

Per ulteriori informazioni, vedere Time Delays in Linear Systems.

Ts — Tempo di campionamento

0 (predefinito) | scalare positivo | -1

Tempo di campionamento, specificato come:

• 0 per sistemi a tempo continuo.

• Uno scalare positivo che rappresenta il periodo di campionamento di un sistema a tempo discreto. Specificare Ts nell'unità di tempo definita dalla proprietà TimeUnit.

• -1 per un sistema a tempo discreto con un tempo di campionamento non specificato.

Nota

La modifica di Ts non discretizza o ricampiona il modello. Per convertire tra le rappresentazioni a tempo continuo e a tempo discreto, utilizzare c2d e d2c. Per modificare il tempo di campionamento di un sistema a tempo discreto, utilizzare d2d.

TimeUnit — Unità della variabile tempo

'seconds' (predefinito) | 'nanoseconds' | 'microseconds' | 'milliseconds' | 'minutes' | 'hours' | 'days' | 'weeks' | 'months' | 'years' | ...

Unità della variabile tempo, specificate in uno dei seguenti modi:

• 'nanoseconds'

• 'microseconds'

• 'milliseconds'

• 'seconds'

• 'minutes'

• 'hours'

• 'days'

• 'weeks'

• 'months'

• 'years'

La modifica di TimeUnit non ha alcun effetto sulle altre proprietà, ma cambia il comportamento complessivo del sistema. Utilizzare chgTimeUnit per convertire tra le unità di tempo senza modificare il comportamento del sistema.

InputName — Nomi dei canali di input

'' (predefinito) | vettore di caratteri | array di celle dei vettori di caratteri

Nomi dei canali di input, specificati in uno dei seguenti modi:

• Un vettore di caratteri, per i modelli a singolo input.

• Un array di celle dei vettori di caratteri, per i modelli a multiplo input.

• '', nessun nome specificato per qualsiasi canale di input.

In alternativa, è possibile assegnare i nomi agli input dei modelli a multiplo input utilizzando l'espansione automatica del vettore. Ad esempio, se sys è un modello a due input, inserire quanto segue:

sys.InputName = 'controls';

I nomi degli input si espandono automaticamente in {'controls(1)';'controls(2)'}.

È possibile utilizzare la notazione abbreviata u per fare riferimento alla proprietà InputName. Ad esempio, sys.u equivale a sys.InputName.

Utilizzare InputName per:

• Identificare i canali sulla visualizzazione del modello e sui grafici.

• Estrarre i sottosistemi dei sistemi MIMO.

• Specificare i punti di connessione quando si interconnettono i modelli.

InputUnit — Unità del canale di input

'' (predefinito) | vettore di caratteri | array di celle dei vettori di caratteri

Unità del canale di input, specificate in uno dei seguenti modi:

• Un vettore di caratteri, per i modelli a singolo input.

• Un array di celle dei vettori di caratteri, per i modelli a multiplo input.

• '', nessuna unità specificata per qualsiasi canale di input.

Utilizzare InputUnit per specificare le unità del segnale di input. InputUnit non ha alcun effetto sul comportamento del sistema.

InputGroup — Gruppi di canali di input

struttura

Gruppi di canali di input, specificati come struttura. Utilizzare InputGroup per suddividere i canali di input di sistemi MIMO in gruppi e fare riferimento a ciascun gruppo per nome. I nomi dei campi di InputGroup sono i nomi dei gruppi e i valori dei campi sono i canali di input di ciascun gruppo. Ad esempio, inserire quanto segue per creare gruppi di input denominati controls e noise che includono rispettivamente i canali di input 1 e 2 e i canali di input 3 e 5.

sys.InputGroup.controls = [1 2];
sys.InputGroup.noise = [3 5];

È quindi possibile estrarre il sottosistema dagli input controls tutti gli output utilizzando quanto segue.

sys(:,'controls')

Per impostazione predefinita, InputGroup è una struttura senza campi.

OutputName — Nomi dei canali di output

'' (predefinito) | vettore di caratteri | array di celle dei vettori di caratteri

Nomi dei canali di output, specificati in uno dei seguenti modi:

• Un vettore di caratteri, per i modelli a singolo output.

• Un array di celle dei vettori di caratteri, per i modelli a multiplo output.

• '', nessun nome specificato per qualsiasi canale di output.

In alternativa, è possibile assegnare i nomi agli output dei modelli a multiplo output utilizzando l'espansione automatica del vettore. Ad esempio, se sys è un modello a due output, inserire quanto segue.

sys.OutputName = 'measurements';

I nomi degli output si espandono automaticamente in {'measurements(1)';'measurements(2)'}.

È inoltre possibile utilizzare la notazione abbreviata y per fare riferimento alla proprietà OutputName. Ad esempio, sys.y equivale a sys.OutputName.

Utilizzare OutputName per:

• Identificare i canali sulla visualizzazione del modello e sui grafici.

• Estrarre i sottosistemi dei sistemi MIMO.

• Specificare i punti di connessione quando si interconnettono i modelli.

OutputUnit — Unità del canale di output

'' (predefinito) | vettore di caratteri | array di celle dei vettori di caratteri

Unità del canale di output, specificate in uno dei seguenti modi:

• Un vettore di caratteri, per i modelli a singolo output.

• Un array di celle dei vettori di caratteri, per i modelli a multiplo output.

• '', nessuna unità specificata per qualsiasi canale di output.

Utilizzare OutputUnit per specificare le unità del segnale di output. OutputUnit non ha alcun effetto sul comportamento del sistema.

OutputGroup — Gruppi di canali di output

struttura

Gruppi di canali di output, specificati come struttura. Utilizzare OutputGroup per suddividere i canali di output di sistemi MIMO in gruppi e fare riferimento a ciascun gruppo per nome. I nomi dei campi di OutputGroup sono i nomi dei gruppi e i valori dei campi sono i canali di output di ciascun gruppo. Ad esempio, creare gruppi di output denominati temperature e measurement che includono rispettivamente i canali di output 1 e i canali di output 3 e 5.

sys.OutputGroup.temperature = [1];
sys.OutputGroup.measurement = [3 5];

È quindi possibile estrarre il sottosistema da tutti gli input agli output measurement utilizzando quanto segue.

sys('measurement',:)

Per impostazione predefinita, OutputGroup è una struttura senza campi.

Name — Nome del sistema

'' (predefinito) | vettore di caratteri

Nome del sistema, specificato come vettore di caratteri. Ad esempio, 'system_1'.

Notes — Testo specificato dall'utente

{} (predefinito) | vettore di caratteri | array di celle dei vettori di caratteri

Testo specificato dall'utente che si desidera associare al sistema, specificato come vettore di caratteri o array di celle di vettori di caratteri. Ad esempio, 'System is MIMO'.

UserData — Dati specificati dall'utente

[] (predefinito) | qualsiasi tipo di dati di MATLAB^®

Dati specificati dall'utente che si desidera associare al sistema, specificati come qualsiasi tipo di dati di MATLAB.

SamplingGrid — Griglia di campionamento per array di modelli

array di strutture

Griglia di campionamento per array di modelli, specificata come array di strutture.

Utilizzare SamplingGrid per tracciare i valori delle variabili associate a ciascun modello in un array di modelli, compresi gli array di modelli a tempo lineare invariante identificati (IDLTI).

Impostare i nomi dei campi della struttura sui nomi delle variabili di campionamento. Impostare i valori dei campi sui valori delle variabili campionate associate a ciascun modello dell'array. Tutte le variabili di campionamento devono essere scalari numerici e tutti gli array di valori campionati devono corrispondere alle dimensioni dell'array del modello.

Ad esempio, è possibile creare un array di modelli lineari 11x1 sysarr, acquisendo istantanee di un sistema lineare a tempo variabile nei momenti t = 0:10. Il codice seguente memorizza i campioni temporali con i modelli lineari.

 sysarr.SamplingGrid = struct('time',0:10)

Analogamente, è possibile creare un array di modelli 6x9 M, campionando due variabili zeta e w in modo indipendente. Il codice seguente mappa i valori (zeta,w) su M.

[zeta,w] = ndgrid(<6 values of zeta>,<9 values of w>)
M.SamplingGrid = struct('zeta',zeta,'w',w)

Quando si visualizza M, ciascuna voce dell'array include i valori zeta e w corrispondenti.

M

M(:,:,1,1) [zeta=0.3, w=5] =
 
        25
  --------------
  s^2 + 3 s + 25
 

M(:,:,2,1) [zeta=0.35, w=5] =
 
         25
  ----------------
  s^2 + 3.5 s + 25
 
...

Per gli array di modelli generati dalla linearizzazione di un modello Simulink^® con più valori di parametri o di punti operativi, il software popola automaticamente SamplingGrid con i valori delle variabili corrispondenti a ciascuna voce dell'array. Ad esempio, i comandi di Simulink Control Design™ linearize (Simulink Control Design) e slLinearizer (Simulink Control Design) popolano SamplingGrid automaticamente.

Per impostazione predefinita, SamplingGrid è una struttura senza campi.

Funzioni oggetto

I seguenti elenchi contengono un sottoinsieme rappresentativo delle funzioni utilizzabili con i modelli tf. In linea generale, qualsiasi funzione applicabile a Modelli di sistemi dinamici è applicabile a un oggetto tf.

Analisi lineare

step	Step response of dynamic system
impulse	Impulse response plot of dynamic system; impulse response data
lsim	Plot simulated time response of dynamic system to arbitrary inputs; simulated response data
bode	Bode plot of frequency response, or magnitude and phase data
nyquist	Nyquist plot of frequency response
nichols	Nichols chart of frequency response
bandwidth	Frequency response bandwidth

Analisi di stabilità

pole	Poles of dynamic system
zero	Zeros and gain of SISO dynamic system
pzplot	Pole-zero plot of dynamic system model with additional plot customization options
margin	Gain margin, phase margin, and crossover frequencies

Trasformazione del modello

zpk	Zero-pole-gain model
ss	State-space model
c2d	Convert model from continuous to discrete time
d2c	Convert model from discrete to continuous time
d2d	Resample discrete-time model

Interconnessione del modello

feedback	Feedback connection of multiple models
connect	Block diagram interconnections of dynamic systems
series	Collegamento in serie di due modelli
parallel	Parallel connection of two models

Progettazione del controller

pidtune	PID tuning algorithm for linear plant model
rlocus	Grafico del luogo della radice del sistema dinamico
lqr	Progettazione del regolatore lineare quadratico (LQR)
lqg	Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) design
lqi	Linear-Quadratic-Integral control
kalman	Design Kalman filter for state estimation

Esempi

Modello della funzione di trasferimento SISO

Per questo esempio, si consideri il seguente modello della funzione di trasferimento SISO:

$$sys(s)=\frac{1}{2s^2+3s+4}.$$

Specificare i coefficienti del numeratore e del denominatore in ordine di potenza decrescente di s e creare il modello dalla funzione di trasferimento.

numerator = 1;
denominator = [2,3,4];
sys = tf(numerator,denominator)

sys =
 
         1
  ---------------
  2 s^2 + 3 s + 4
 
Continuous-time transfer function.

Modello della funzione di trasferimento SISO a tempo discreto

Per questo esempio, si consideri il seguente modello della funzione di trasferimento SISO a tempo discreto:

$$sys(z)=\frac{2z}{4z^3+3z-1}.$$

Specificare i coefficienti del numeratore e del denominatore in ordine di potenza decrescente di z e il tempo di campionamento di 0,1 secondi. Creare il modello della funzione di trasferimento a tempo discreto.

numerator = [2,0];
denominator = [4,0,3,-1];
ts = 0.1;
sys = tf(numerator,denominator,ts)

sys =
 
        2 z
  ---------------
  4 z^3 + 3 z - 1
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

Funzione di trasferimento del secondo ordine dal rapporto di smorzamento e dalla frequenza naturale

Per questo esempio, si consideri un modello della funzione di trasferimento che rappresenta un sistema del secondo ordine con frequenza naturale e rapporto di smorzamento noti.

La funzione di trasferimento di un sistema del secondo ordine, espressa in termini del proprio rapporto di smorzamento $$\zeta$$ e della propria frequenza naturale $${\omega }_0$$, è:

$$sys\left(s\right)=\frac{{\omega }_0^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2}.$$

Creare la funzione di trasferimento del secondo ordine assumendo un rapporto di smorzamento $$\zeta$$ = 0,25 e una frequenza naturale $${\omega }_0$$ = 3 rad/s.

zeta = 0.25;
w0 = 3;
numerator = w0^2;
denominator = [1,2*zeta*w0,w0^2];
sys = tf(numerator,denominator)

sys =
 
         9
  ---------------
  s^2 + 1.5 s + 9
 
Continuous-time transfer function.

Esaminare la risposta di questa funzione di trasferimento in un input a gradini.

stepplot(sys)

Il grafico mostra il tempo di smorzamento previsto per un sistema del secondo ordine con un basso rapporto di smorzamento.

Modello della funzione di trasferimento MIMO a tempo discreto

Creare una funzione di trasferimento per il modello a multiplo input-multiplo output a tempo discreto:

$$sys\left(z\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{z+0.3}& \frac{z}{z+0.3}\\ \frac{-z+2}{z+0.3}& \frac{3}{z+0.3}\end{array}\right]$$

con tempo di campionamento ts = 0.2 secondi.

Specificare i coefficienti del numeratore come una matrice 2x2.

numerators = {1 [1 0];[-1 2] 3};

Specificare i coefficienti del denominatore comune come vettore riga.

denominator = [1 0.3];

Creare il modello della funzione di trasferimento MIMO a tempo discreto.

ts = 0.2;
sys = tf(numerators,denominator,ts)

sys =
 
  From input 1 to output...
          1
   1:  -------
       z + 0.3
 
       -z + 2
   2:  -------
       z + 0.3
 
  From input 2 to output...
          z
   1:  -------
       z + 0.3
 
          3
   2:  -------
       z + 0.3
 
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.

Per ulteriori informazioni sulla creazione di funzioni di trasferimento MIMO, vedere Funzioni di trasferimento MIMO.

Concatenazione delle funzioni di trasferimento SISO nel modello della funzione di trasferimento MIMO

In questo esempio, si crea un modello della funzione di trasferimento MIMO concatenando i modelli della funzione di trasferimento SISO. Si consideri la seguente funzione di trasferimento a input/output singolo:

$$sys(s)=\left[\begin{array}{c}\frac{s-1}{s+1}\\ \frac{s+2}{s^2+4s+5}\end{array}\right].$$

Specificare il modello della funzione di trasferimento MIMO concatenando le voci SISO.

sys1 = tf([1 -1],[1 1]);		
sys2 = tf([1 2],[1 4 5]);
sys = [sys1;sys2]

sys =
 
  From input to output...
       s - 1
   1:  -----
       s + 1
 
           s + 2
   2:  -------------
       s^2 + 4 s + 5
 
Continuous-time transfer function.

Per ulteriori informazioni sulla creazione di funzioni di trasferimento MIMO, vedere Funzioni di trasferimento MIMO.

Modello della funzione di trasferimento utilizzando un'espressione razionale

Per questo esempio, creare un modello della funzione di trasferimento a tempo continuo utilizzando espressioni razionali. Utilizzare un'espressione razionale può talvolta risultare più semplice e intuitivo che specificare i coefficienti polinomiali del numeratore e del denominatore.

Si consideri il sistema seguente:

$$sys(s)=\frac{s}{s^2+2s+10}.$$

Per creare il modello della funzione di trasferimento, specificare innanzitutto s come oggetto tf.

s = tf('s')

s =
 
  s
 
Continuous-time transfer function.

Creare il modello della funzione di trasferimento utilizzando s nell'espressione razionale.

sys = s/(s^2 + 2*s + 10)

sys =
 
        s
  --------------
  s^2 + 2 s + 10
 
Continuous-time transfer function.

Modello della funzione di trasferimento a tempo discreto utilizzando un'espressione razionale

Per questo esempio, creare un modello della funzione di trasferimento a tempo discreto utilizzando un'espressione razionale. Utilizzare un'espressione razionale può talvolta risultare più semplice e intuitivo che specificare i coefficienti polinomiali.

Si consideri il sistema seguente:

$$sys(z)=\frac{z-1}{z^2-1.85z+0.9}.$$

Per creare il modello della funzione di trasferimento, specificare innanzitutto z come oggetto tf e il tempo di campionamento Ts.

ts = 0.1;
z = tf('z',ts)

z =
 
  z
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

Creare il modello della funzione di trasferimento utilizzando z nell'espressione razionale.

sys = (z - 1) / (z^2 - 1.85*z + 0.9)

sys =
 
        z - 1
  ------------------
  z^2 - 1.85 z + 0.9
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

Modello della funzione di trasferimento con proprietà ereditate

Per questo esempio, creare un modello della funzione di trasferimento con proprietà ereditate da un altro modello della funzione di trasferimento. Si consideri le due seguenti funzioni di trasferimento:

$$sys1(s)=\frac{2s}{s^2+8s}andsys2(s)=\frac{s-1}{7s^4+2s^3+9}.$$

Per questo esempio, creare sys1 con le proprietà TimeUnit e InputDelay impostate su 'minutes'.

numerator1 = [2,0];
denominator1 = [1,8,0];
sys1 = tf(numerator1,denominator1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes')

sys1 =
 
     2 s
  ---------
  s^2 + 8 s
 
Continuous-time transfer function.

propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]

propValues1 = 1x2 cell
    {'minutes'}    {'minutes'}

Creare il secondo modello della funzione di trasferimento con le proprietà ereditate da sys1.

numerator2 = [1,-1];
denominator2 = [7,2,0,0,9];
sys2 = tf(numerator2,denominator2,sys1)

sys2 =
 
        s - 1
  -----------------
  7 s^4 + 2 s^3 + 9
 
Continuous-time transfer function.

propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]

propValues2 = 1x2 cell
    {'minutes'}    {'minutes'}

Si noti che il modello della funzione di trasferimento sys2 ha le stesse proprietà di sys1.

Array dei modelli della funzione di trasferimento

È possibile utilizzare un loop for per specificare un array dei modelli della funzione di trasferimento.

Innanzitutto, preallocare l'array della funzione di trasferimento con degli zeri.

sys = tf(zeros(1,1,3));

I primi due indici rappresentano il numero di output e di input dei modelli, mentre il terzo indice è il numero di modelli presenti nell'array.

Creare il modello della funzione di trasferimento utilizzando un'espressione razionale nel loop for.

s = tf('s');                                                  
for k = 1:3                                                             
    sys(:,:,k) = k/(s^2+s+k);                                          
end
sys

sys(:,:,1,1) =
 
       1
  -----------
  s^2 + s + 1
 

sys(:,:,2,1) =
 
       2
  -----------
  s^2 + s + 2
 

sys(:,:,3,1) =
 
       3
  -----------
  s^2 + s + 3
 
3x1 array of continuous-time transfer functions.

Conversione del modello stato-spazio in funzione di trasferimento

Per questo esempio, calcolare la funzione di trasferimento del seguente modello stato-spazio:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right],D=[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}].$$

Creare il modello stato-spazio utilizzando le matrici stato-spazio.

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
ltiSys = ss(A,B,C,D);

Convertire il modello stato-spazio ltiSys n una funzione di trasferimento.

sys = tf(ltiSys)

sys =
 
  From input 1 to output:
        s
  -------------
  s^2 + 4 s + 5
 
  From input 2 to output:
  s^2 + 5 s + 8
  -------------
  s^2 + 4 s + 5
 
Continuous-time transfer function.

Estrazione delle funzioni di trasferimento dal modello identificato

Per questo esempio, estrarre i componenti misurati e di rumore di un modello polinomiale identificato in due funzioni di trasferimento separate.

Caricare il modello polinomiale Box-Jenkins ltiSys in identifiedModel.mat.

load('identifiedModel.mat','ltiSys');

ltiSys è un modello a tempo discreto identificato di forma: $$y(t)=\frac{B}{F}u(t)+\frac{C}{D}e(t)$$, dove $$\frac{B}{F}$$ rappresenta il componente misurato e $$\frac{C}{D}$$ rappresenta il componente di rumore.

Estrarre i componenti misurati e di rumore come funzioni di trasferimento.

sysMeas = tf(ltiSys,'measured') 

sysMeas =
 
  From input "u1" to output "y1":
            -0.1426 z^-1 + 0.1958 z^-2
  z^(-2) * ----------------------------
           1 - 1.575 z^-1 + 0.6115 z^-2
 
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time transfer function.

sysNoise = tf(ltiSys,'noise')

sysNoise =
 
  From input "v@y1" to output "y1":
           0.04556 + 0.03301 z^-1
  ----------------------------------------
  1 - 1.026 z^-1 + 0.26 z^-2 - 0.1949 z^-3
 
Input groups:        
    Name     Channels
    Noise       1    
                     
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time transfer function.

Il componente misurato può servire come modello dell'impianto, mentre il componente di rumore può essere utilizzato come modello di disturbo per la progettazione del sistema di controllo.

Assegnazione dei nomi agli input e agli output del modello della funzione di trasferimento MIMO

Gli oggetti del modello della funzione di trasferimento includono i dati del modello che aiutano a tenere traccia di quanto rappresentato dal modello. Ad esempio, si possono assegnare i nomi agli input e agli output del modello.

Si consideri il seguente modello della funzione di trasferimento MIMO a tempo continuo:

$$sys(s)=\left[\begin{array}{c}\frac{s+1}{s^2+2s+2}\\ \frac{1}{s}\end{array}\right]$$

Il modello ha un input $$-$$ corrente e due output $$-$$ coppia e velocità angolare.

Innanzitutto, specificare i coefficienti del numeratore e del denominatore del modello.

numerators = {[1 1] ; 1};
denominators = {[1 2 2] ; [1 0]};

Creare il modello della funzione di trasferimento, specificando i nomi degli input e degli output.

sys = tf(numerators,denominators,'InputName','Current',...
        'OutputName',{'Torque' 'Angular Velocity'})

sys =
 
  From input "Current" to output...
                s + 1
   Torque:  -------------
            s^2 + 2 s + 2
 
                      1
   Angular Velocity:  -
                      s
 
Continuous-time transfer function.

Definizione dell'ordinamento dei polinomi nella funzione di trasferimento a tempo discreto

Per questo esempio, specificare l'ordinamento dei polinomi nei modelli della funzione di trasferimento a tempo discreto utilizzando la proprietà 'Variable'.

Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento a tempo discreto con tempo di campionamento di 0,1 secondi:

$$sys1(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+3}sys2(z^{-1})=\frac{1}{1+2z^{-1}+3z^{-2}}.$$

Creare la prima funzione di trasferimento a tempo discreto specificando i coefficienti z.

numerator = [1,0,0];
denominator = [1,2,3];
ts = 0.1;
sys1 = tf(numerator,denominator,ts)

sys1 =
 
       z^2
  -------------
  z^2 + 2 z + 3
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

I coefficienti di sys1 sono in ordine di potenza decrescente di z.

tf commuta la convenzione in base al valore della proprietà 'Variable'. Poiché sys2 è il modello della funzione di trasferimento inversa di sys1, specificare 'Variable' come 'z^-1' e utilizzare gli stessi coefficienti del numeratore e del denominatore.

sys2 = tf(numerator,denominator,ts,'Variable','z^-1')

sys2 =
 
           1
  -------------------
  1 + 2 z^-1 + 3 z^-2
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

I coefficienti di sys2 sono ora in ordine di potenza crescente di z^-1.

In base a diverse convenzioni, è possibile specificare l'ordinamento dei polinomi nei modelli della funzione di trasferimento a tempo discreto utilizzando la proprietà 'Variable'.

Filtro passa-basso sincronizzabile

In questo esempio, si crea un filtro passa-basso con un parametro a sincronizzabile:

$$F=\frac{a}{s+a}$$

Poiché i coefficienti del numeratore e del denominatore di un blocco tunableTF sono indipendenti, non è possibile utilizzare tunableTF per rappresentare F. Costruire invece F utilizzando l'oggetto del parametro reale sincronizzabile realp.

Creare un parametro reale sincronizzabile con un valore iniziale di 10.

a = realp('a',10)

a = 
       Name: 'a'
      Value: 10
    Minimum: -Inf
    Maximum: Inf
       Free: 1

Real scalar parameter.

Utilizzare tf per creare il filtro passa-basso sincronizzabile F.

numerator = a;
denominator = [1,a];
F = tf(numerator,denominator)

Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 1 states, and the following blocks:
  a: Scalar parameter, 2 occurrences.

Type "ss(F)" to see the current value and "F.Blocks" to interact with the blocks.

F è un oggetto genss che presenta il parametro sincronizzabile a nella proprietà Blocks. È possibile collegare F con altri modelli sincronizzabili o numerici per creare modelli di sistemi di controllo più complessi. Per un esempio, vedere Control System with Tunable Components.

Modello della funzione di trasferimento MIMO a guadagno statico

In questo esempio, si crea un modello della funzione di trasferimento MIMO a guadagno statico.

Si consideri la seguente matrice di guadagno statico a due input e due output m:

$$m=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]$$

Specificare la matrice di guadagno e creare il modello della funzione di trasferimento del guadagno statico.

m = [2,4;...
    3,5];
sys1 = tf(m)

sys1 =
 
  From input 1 to output...
   1:  2
 
   2:  3
 
  From input 2 to output...
   1:  4
 
   2:  5
 
Static gain.

È possibile utilizzare il modello della funzione di trasferimento del guadagno statico sys1 ottenuto in precedenza per collegarlo in cascata a un altro modello della funzione di trasferimento.

Per questo esempio, creare un altro modello della funzione di trasferimento a tempo discreto a due input e due output e utilizzare la funzione series per collegare i due modelli.

numerators = {1,[1,0];[-1,2],3};
denominator = [1,0.3];
ts = 0.2;
sys2 = tf(numerators,denominator,ts)

sys2 =
 
  From input 1 to output...
          1
   1:  -------
       z + 0.3
 
       -z + 2
   2:  -------
       z + 0.3
 
  From input 2 to output...
          z
   1:  -------
       z + 0.3
 
          3
   2:  -------
       z + 0.3
 
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.

sys = series(sys1,sys2)

sys =
 
  From input 1 to output...
       3 z^2 + 2.9 z + 0.6
   1:  -------------------
       z^2 + 0.6 z + 0.09
 
       -2 z^2 + 12.4 z + 3.9
   2:  ---------------------
        z^2 + 0.6 z + 0.09
 
  From input 2 to output...
       5 z^2 + 5.5 z + 1.2
   1:  -------------------
       z^2 + 0.6 z + 0.09
 
       -4 z^2 + 21.8 z + 6.9
   2:  ---------------------
        z^2 + 0.6 z + 0.09
 
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time transfer function.

Limiti

• I modelli della funzione di trasferimento non sono adatti per i calcoli numerici. Una volta creati, devono essere convertiti nella forma stato-spazio prima di abbinarli ad altri modelli o di eseguire trasformazioni del modello. È quindi possibile riconvertire i modelli risultanti in forma di funzione di trasferimento a scopo di verifica

• Un modello non lineare identificato non può essere convertito direttamente in un modello della funzione di trasferimento utilizzando tf. Per ottenere un modello della funzione di trasferimento:

  1. Convertire il modello non lineare identificato in un modello LTI identificato utilizzando linapp (System Identification Toolbox), idnlarx/linearize (System Identification Toolbox) o idnlhw/linearize (System Identification Toolbox).

  2. Quindi, convertire il modello risultante in un modello della funzione di trasferimento utilizzando tf.

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

filt | frd | get | set | ss | tfdata | zpk | genss | realp | genmat | tunableTF

Argomenti

• What Are Model Objects?
• Funzioni di trasferimento
• Discrete-Time Numeric Models
• Funzioni di trasferimento MIMO
• Using the Right Model Representation
• Utilizzo del FEEDBACK per chiudere i loop di feedback

Siti web esterni

• Transfer Function Analysis of Dynamic Systems (Analisi della funzione di trasferimento di sistemi dinamici) (Risorse didattiche di MathWorks)