Panoramica su System Identification

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System identification è una metodologia per creare modelli matematici di sistemi dinamici utilizzando le misure dei segnali in ingresso e in uscita del sistema.

Il processo di identificazione del sistema richiede che:

La misurazione dei segnali in ingresso e in uscita del sistema venga eseguita nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza.
Venga selezionata una struttura del modello.
Si applichi un metodo estimativo per stimare i valori per i parametri regolabili nella struttura del modello candidato.
Il modello stimato venga valutato per verificarne l’adeguatezza alle esigenze applicative.

Sistemi e modelli dinamici

In un sistema dinamico, i valori dei segnali in uscita dipendono sia dai valori istantanei dei segnali in ingresso sia dal comportamento passato del sistema. Ad esempio, un sedile di un’autovettura è un sistema dinamico: la forma del sedile (posizione di assestamento) dipende sia dal peso attuale del passeggero (valore istantaneo) sia dal tempo che il passeggero ha viaggiato nell’autovettura (comportamento passato).

Un modello è una relazione matematica tra le variabili in ingresso e in uscita del sistema. I modelli dei sistemi dinamici sono tipicamente descritti da equazioni differenziali o da equazioni alle differenze, funzioni di trasferimento, equazioni nello spazio degli stati e modelli con guadagno con polo in zero.

I modelli dinamici possono essere rappresentati sia nella forma a tempo continuo sia nella forma a tempo discreto.

Un esempio spesso utilizzato di modello dinamico è l’equazione del moto di un sistema molla-massa-smorzatore. Come mostrato nella figura seguente, la massa si muove in risposta alla forza F(t) applicata sulla base a cui la massa è attaccata. L’ingresso e l’uscita di questo sistema sono rispettivamente la forza F(t) e lo spostamento y(t).

Esempio di modello dinamico a tempo continuo

È possibile rappresentare lo stesso sistema fisico come diversi modelli equivalenti. Ad esempio, il sistema massa-molla-smorzatore a tempo continuo può essere rappresentato come un’equazione differenziale di secondo grado:

$m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + c \frac{d y}{d t} + k y (t) = F (t)$

In questo caso, m è la massa, k è la costante di rigidezza della molla e c è il coefficiente di smorzamento. La soluzione di questa equazione differenziale consente di determinare lo spostamento della massa y(t) come funzione della forza esterna F(t) in qualsiasi momento t, per valori noti della costante m, c e k.

Considerare lo spostamento y(t) e la velocità $v (t) = \frac{d y (t)}{d t}$ come variabili di stato:

$x (t) = [\begin{matrix} y (t) \\ v (t) \end{matrix}]$

La precedente equazione di moto può essere espressa come modello nello spazio degli stati del sistema:

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x (t) + B F (t) \\ y (t) = C x (t) \end{array}$

Le matrici A, B e C sono correlate alle costanti m, c e k come segue:

$\begin{matrix} A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{matrix}] \\ B = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{m} \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}$

È inoltre possibile ottenere un modello di funzione di trasferimento del sistema molla-massa-smorzatore prendendolo dalla trasformata di Laplace dell’equazione differenziale:

$G (s) = \frac{Y (s)}{F (s)} = \frac{1}{(m s^{2} + c s + k)}$

In questo caso, s è la variabile di Laplace.

Esempio di modello dinamico a tempo discreto

Si supponga di poter osservare solo le variabili in ingresso e in uscita F(t) e y(t) del sistema massa-molla-smorzatore negli istanti a tempo discreto t = nT_s, dove T_s è un intervallo di tempo fisso e n = 0, 1 , 2, .... Si dice che le variabili sono campionate con il tempo di campionamento T_s. È quindi possibile rappresentare la relazione tra le variabili campionate in ingresso-in uscita come un’equazione alle differenze di secondo grado, come

$y (t) + a_{1} y (t - T_{s}) + a_{2} y (t - 2 T_{s}) = b F (t - T_{s})$

Spesso, per semplicità, T_s è considerato come un’unità di tempo e l’equazione può essere scritta come

$y (t) + a_{1} y (t - 1) + a_{2} y (t - 2) = b F (t - 1)$

In questo caso, a₁ e a₂ sono i parametri del modello. I parametri del modello sono correlati alle costanti del sistema m, c e k e al tempo di campionamento T_s.

Questa equazione alle differenze mostra la natura dinamica del modello. Il valore dello spostamento nell’istante di tempo t dipende non solo dal valore della forza F nell’istante di tempo precedente, ma anche dai valori dello spostamento nei due istanti di tempo precedenti y(t–1) e y(t–2).

È possibile utilizzare questa equazione per calcolare lo spostamento in un momento specifico. Lo spostamento è rappresentato come una somma ponderata dei valori passati in ingresso e in uscita:

$y (t) = b F (t - 1) - a_{1} y (t - 1) - a_{2} y (t - 2)$

Questa equazione mostra un modo iterativo per generare valori in uscita y(t) partendo dalle condizioni iniziali y(0) e y(1) e misure in ingresso F(t). Questo calcolo è chiamato simulazione.

In alternativa, il valore in uscita in un dato momento t può essere calcolato utilizzando i valori in uscita misurati nei due istanti di tempo precedenti e il valore in ingresso in un istante di tempo precedente. Questo calcolo è chiamato predizione. Per ulteriori informazioni sulla simulazione e sulla predizione utilizzando un modello, vedere gli argomenti a pagina Simulation and Prediction.

È inoltre possibile rappresentare un’equazione di moto a tempo discreto nella forma nello spazio degli stati e nella forma funzione di trasferimento eseguendo trasformazioni simili a quelle descritte in Esempio di modello dinamico a tempo continuo.

Utilizzo dei dati misurati in System Identification

System Identification utilizza i segnali in ingresso e in uscita misurati da un sistema per stimare i valori dei parametri regolabili in una determinata struttura del modello. È possibile creare modelli utilizzando segnali in ingresso-in uscita nel dominio del tempo, dati della risposta in frequenza, segnali di serie temporale e spettri di serie temporale.

Per ottenere un buon modello per il sistema, è necessario disporre di dati misurati che riflettano il comportamento dinamico del sistema. L’accuratezza del modello dipende dalla qualità dei dati di misurazione che, a sua volta, dipende dal progetto sperimentale.

Dati nel dominio del tempo

I dati nel dominio del tempo sono costituiti dalle variabili in ingresso e in uscita del sistema che vengono registrate a una frequenza di campionamento uniforme per un periodo di tempo.

Ad esempio, se si misura la forza in ingresso F(t) e lo spostamento della massa y(t) del sistema molla-massa-smorzatore illustrato in Sistemi e modelli dinamici a una frequenza di campionamento uniforme di 10 Hz, si ottengono i seguenti vettori dei valori misurati:

$\begin{array}{l} u_{m e a s} = [F (T_{s}), F (2 T_{s}), F (3 T_{s}), ..., F (N T_{s})] \\ y_{m e a s} = [y (T_{s}), y (2 T_{s}), y (3 T_{s}), ..., y (N T_{s})] \end{array}$

In questo caso, T_s = 0.1 secondi e NT_s è il tempo dell’ultima misurazione.

Se si desidera creare un modello a tempo discreto da questi dati, i vettori di dati u_meas e y_meas, nonché il tempo di campionamentoT_s forniscono informazioni sufficienti per creare tale modello.

Se si desidera creare un modello a tempo continuo, è necessario conoscere anche il comportamento intercampione dei segnali in ingresso durante l’esperimento. Ad esempio, l’ingresso tra i campioni può essere costante a tratti (blocco dell’ordine zero) o lineare a tratti (blocco del primo ordine).

Dati nel dominio della frequenza

I dati nel dominio della frequenza rappresentano le misurazioni delle variabili in ingresso e in uscita del sistema che vengono registrate o archiviate nel dominio della frequenza. I segnali nel dominio della frequenza sono trasformate di Fourier dei corrispondenti segnali nel dominio del tempo.

I dati nel dominio della frequenza possono anche rappresentare la risposta in frequenza del sistema, definita dall’insieme dei valori di risposta complessi su un determinato intervallo di frequenza. La risposta in frequenza descrive le uscite agli ingressi sinusoidali. Se l’ingresso è un’onda sinusoidale con frequenza ω, anche l’uscita sarà un’onda sinusoidale con la stessa frequenza, la cui ampiezza è A(ω) volte l’ampiezza del segnale in ingresso e uno sfasamento di Φ(ω) rispetto al segnale in ingresso. La risposta in frequenza è A(ω)e^(iΦ(ω)).

Nel caso del sistema massa-molla-smorzatore, è possibile ottenere i dati della risposta in frequenza utilizzando una forza sinusoidale in ingresso e misurando il corrispondente guadagno di ampiezza e lo sfasamento della risposta su un intervallo di frequenze in ingresso.

È possibile utilizzare i dati nel dominio della frequenza per creare modelli del sistema sia a tempo discreto sia a tempo continuo.

Requisiti di qualità dei dati

System Identification richiede che i dati acquisiscano la dinamica importante del sistema. Una buona progettazione sperimentale garantisce la misurazione delle variabili corrette con un’accuratezza e una durata sufficienti affinché acquisiscano la dinamica che si desidera modellare. In linea generale, l’esperimento deve:

Utilizzare ingressi che eccitino adeguatamente la dinamica del sistema. Ad esempio, un singolo passaggio è raramente un’eccitazione sufficiente.
Misurare i dati per un tempo sufficientemente lungo onde acquisire le costanti di tempo importanti.
Impostare un sistema di acquisizione dati che abbia un buon rapporto segnale-rumore.
Misurare i dati a intervalli di campionamento o risoluzione di frequenza appropriati.

È possibile analizzare la qualità dei dati prima di creare il modello utilizzando le funzioni e le tecniche descritte in Analyze Data. Ad esempio, è possibile analizzare lo spettro in ingresso per determinare se i segnali in ingresso hanno la potenza sufficiente sulla larghezza di banda del sistema. Per ottenere consigli sull’analisi e sull’elaborazione di dati specifici, utilizzare advice.

È inoltre possibile analizzare i dati per determinare le frequenze di picco, i ritardi in ingresso, le costanti di tempo importanti e le indicazioni delle non linearità utilizzando gli strumenti di analisi non parametrica in questa toolbox. È possibile utilizzare queste informazioni per configurare le strutture del modello per la creazione di modelli dai dati. Per ulteriori informazioni, vedere:

Creazione di modelli dai dati

Struttura del modello

Una struttura del modello è una relazione matematica tra variabili in ingresso e in uscita che contiene parametri non noti. Esempi di strutture del modello sono le funzioni di trasferimento con poli e zeri regolabili, equazioni nello spazio degli stati con matrici di sistema non note e funzioni parametrizzate non lineari.

La seguente equazione alle differenze rappresenta una semplice struttura del modello:

$y (k) + a y (k - 1) = b u (k)$

In questo caso, a e b sono i parametri regolabili.

Il processo di identificazione del sistema richiede che si scelga una struttura del modello e che si applichino i metodi estimativi per determinare i valori numerici dei parametri del modello.

È possibile utilizzare uno dei seguenti approcci per scegliere la struttura del modello:

Il modello deve essere in grado di riprodurre i dati misurati e deve essere il più semplice possibile. È possibile provare diverse strutture matematiche disponibili nella toolbox. Questo approccio di modellazione è chiamato black-box.
Il modello deve avere una struttura specifica che potrebbe essere stata derivata dalle nozioni primitive ma di cui non si conoscono i valori numerici dei parametri. È possibile rappresentare la struttura del modello come un insieme di equazioni o come un sistema nello spazio degli stati in MATLAB^® e stimare i valori dei parametri dai dati. Questo approccio è conosciuto come modellazione grey-box.

Stima dei parametri del modello

Il software System Identification Toolbox™ stima i parametri del modello minimizzando l’errore tra l’uscita del modello e la risposta misurata. L’uscita y_model del modello lineare è data da

y_model(t) = Gu(t)

In questo caso, G è la funzione di trasferimento.

Per determinare G, la toolbox minimizza la differenza tra l’uscita del modello y_model(t) e l’uscita misurata y_meas(t). Il criterio di minimizzazione è una regola ponderata dell’errore v(t), dove

v(t) = y_meas(t) – y_model(t).

y_model(t) è una delle seguenti:

Risposta simulata (Gu(t) del modello per un dato ingresso u(t)
Risposta predittiva del modello per un dato ingresso u(t) e misurazioni passate dell’uscita (y_meas(t-1), y_meas(t-2),...)

Conseguentemente, l’errore v(t) è chiamato errore di simulazione o errore di predizione. Gli algoritmi di stima regolano i parametri della struttura del modello G affinché la regola di questo errore sia la minore possibile.

Configurazione dell’algoritmo di stima del parametro

È possibile configurare l’algoritmo di stima:

Configurando il criterio di minimizzazione per focalizzare la stima in un intervallo di frequenza desiderato, ad esempio, per dare maggiore enfasi alle frequenze più basse e attenuare i contributi di rumore a frequenza più alta. È inoltre possibile configurare il criterio per indirizzare le esigenze applicative per il modello, come la simulazione o la predizione.
Specificando opzioni di ottimizzazione degli algoritmi di stima iterativi.
In questa toolbox, la maggior parte degli algoritmi di stima è iterativa. È possibile configurare un algoritmo di stima iterativo specificando le opzioni, come il metodo di ottimizzazione e il numero massimo di iterazioni.

Per ulteriori informazioni in merito alla configurazione dell’algoritmo di stima, vedere Options to Configure the Loss Function e gli argomenti per stimare strutture del modello specifiche.

Modellazione black-box

Selezione della struttura e dell’ordine del modello black-box

La modellazione black-box è utile quando l’interesse principale è l’adattamento dei dati, a prescindere da una particolare struttura matematica del modello. La toolbox fornisce numerose strutture del modello black-box lineare e non lineare che, tradizionalmente, sono state utili per rappresentare sistemi dinamici. La complessità di queste strutture del modello varia a seconda della flessibilità necessaria per considerare la dinamica e il rumore del proprio sistema. È possibile scegliere una di queste strutture e calcolarne i parametri per adattarli ai dati di risposta misurati.

La modellazione black-box è solitamente un processo per prove ed errori, in cui si stimano i parametri di diverse strutture e si confrontano i risultati. Tipicamente, si inizia con la struttura del modello lineare semplice per passare a strutture più complesse. Un determinato tipo di struttura può anche essere scelto perché lo si conosce più approfonditamente o poiché risponde a specifiche esigenze applicative.

Le strutture black-box lineari più semplici richiedono il minor numero di opzioni di configurazione:

Funzione di trasferimento, con un dato numero di poli e di zeri
Modello ARX lineare, che è il più semplice modello polinomiale in ingresso-in uscita
Modello nello spazio degli stati, che è possibile stimare specificando il numero di stati del modello

La stima di alcune di queste strutture utilizza anche algoritmi di stima non iterativi che riducono ulteriormente la complessità.

È possibile configurare una struttura del modello utilizzando l’ordine del modello. La definizione dell'ordine del modello varia a seconda del tipo di modello selezionato. Ad esempio, se si sceglie una rappresentazione di una funzione di trasferimento, l’ordine del modello è correlato al numero di poli e di zeri. Per la rappresentazione nello spazio degli stati, l’ordine del modello corrisponde al numero degli stati. In alcuni casi, come per le strutture del modello ARX lineare o nello spazio degli stati, è possibile stimare l’ordine del modello dai dati.

Se le strutture del modello semplice non producono buoni modelli, si possono selezionare strutture del modello più complesse:

Specificando un ordine superiore del modello per la stessa struttura del modello lineare. Un ordine superiore del modello ne aumenta la flessibilità per l’acquisizione di fenomeni complessi. Tuttavia, un ordine inutilmente alto può rendere il modello meno affidabile.
Modellando il rumore in modo esplicito includendo il termine He(t), come mostrato nella seguente equazione.
y(t) = Gu(t) + He(t)
In questo caso, H modella il disturbo additivo trattando il disturbo come l’uscita di un sistema lineare guidato da una sorgente di rumore bianco e(t).
L’utilizzo di una struttura del modello che modelli il disturbo additivo in modo esplicito può aiutare a migliorare l’accuratezza della componente misurata G. Inoltre, tale struttura del modello è utile quando l’interesse principale è utilizzare il modello per predire valori di risposta futuri.
Utilizzando una diversa struttura del modello lineare.
Vedere Linear Model Structures.
Utilizzando una struttura del modello non lineare.
I modelli non lineari sono maggiormente flessibili nell’acquisizione di fenomeni complessi rispetto ai modelli lineari di ordini simili. Vedere Nonlinear Model Structures.

In definitiva, si scelga la struttura del modello più semplice che fornisca il miglior adattamento ai dati misurati. Per ulteriori informazioni, vedere Stima dei modelli lineari utilizzando Quick start.

Indipendentemente dalla struttura scelta per la stima, è possibile semplificare il modello in base alle esigenze applicative. Ad esempio, è possibile separare la dinamica misurata (G) dalla dinamica del rumore (H) per ottenere un modello semplice che rappresenti esclusivamente la relazione tra y e u. È inoltre possibile linearizzare un modello non lineare su un punto operativo.

Utilizzo di strutture del modello non lineare

Un modello lineare è spesso sufficiente per descrivere accuratamente la dinamica di sistema e, nella maggior parte dei casi, è buona norma provare prima ad adattare i modelli lineari. Se l’uscita del modello lineare non riproduce adeguatamente l’uscita misurata, potrebbe essere necessario utilizzare un modello non lineare.

È possibile valutare la necessità di dover utilizzare una struttura del modello non lineare tracciando la risposta del sistema su un ingresso. Se si osserva che la risposte differiscono a seconda del livello di ingresso o del segno di ingresso, provare ad utilizzare un modello non lineare. Ad esempio, se la risposta in uscita relativa a un aumento in ingresso è più veloce rispetto alla risposta relativa a una diminuzione in ingresso, potrebbe essere necessario utilizzare un modello non lineare.

Prima di creare un modello non lineare di un sistema che si sa essere non lineare, provare a trasformare le variabili in ingresso e in uscita affinché la relazione tra le variabili trasformate sia lineare. Ad esempio, si consideri un sistema i cui ingressi sono costituiti dalla corrente e dalla tensione di un riscaldatore a immersione e la cui uscita consiste nel liquido riscaldato. L’uscita dipende dagli ingressi attraverso la potenza del riscaldatore, che è uguale al prodotto della corrente per la tensione. Anziché creare un modello non lineare per questo sistema a due ingressi e a uscita singola, è possibile creare una nuova variabile in ingresso prendendo il prodotto della corrente per la tensione e creando un modello lineare che descriva la relazione tra la potenza e la temperatura.

Se non è possibile determinare le trasformazioni delle variabili che producono una relazione lineare tra le variabili in ingresso e in uscita, è possibile utilizzare strutture non lineari, come i modelli ARX non lineari o Hammerstein-Wiener. Per un elenco delle strutture del modello non lineare supportate e quando utilizzarle, vedere Nonlinear Model Structures.

Esempio di stima black-box

È possibile utilizzare l’app System Identification o i comandi per stimare modelli lineari e non lineari di diverse strutture. Nella maggior parte dei casi, si sceglie una struttura del modello e si stimano i parametri del modello utilizzando un unico comando.

Si consideri il sistema massa-molla-smorzatore descritto in Sistemi e modelli dinamici. Se non si conosce l’equazione di moto di questo sistema, si può utilizzare un approccio di modellazione black-box per creare un modello. Ad esempio, è possibile stimare le funzioni di trasferimento o i modelli nello spazio degli stati specificando gli ordini di queste strutture del modello.

Una funzione di trasferimento è un rapporto di polinomi:

$G (s) = \frac{(b_{0} + b_{1} s + b_{2} s^{2} + ...)}{(1 + f_{1} s + f_{2} s^{2} + ...)}$

Per il sistema massa-molla-smorzatore, questa funzione di trasferimento è

$G (s) = \frac{1}{(m s^{2} + c s + k)}$

che è un sistema senza zeri e con 2 poli.

Nel tempo discreto, la funzione di trasferimento del sistema massa-molla-smorzatore può essere

$G (z^{- 1}) = \frac{b z^{- 1}}{(1 + f_{1} z^{- 1} + f_{2} z^{- 2})}$

dove gli ordini del modello corrispondono al numero di coefficienti del numeratore e del denominatore (nb = 1 e nf = 2) e il ritardo in ingresso-in uscita è uguale all’esponente di ordine più basso di z^–1 nel numeratore (nk = 1).

Nel tempo continuo, è possibile creare un modello di funzione di trasferimento lineare utilizzando il comando tfest.

m = tfest(data,2,0)

In questo caso, data sono i dati in ingresso-in uscita misurati, rappresentati come un oggetto iddata, mentre l’ordine del modello è l’insieme del numero di poli (2) e del numero di zeri (0).

Allo stesso modo, è possibile creare una struttura dell’errore in uscita del modello a tempo discreto utilizzando il comando oe.

m = oe(data,[1 2 1])

L’ordine del modello è [nb nf nk] = [1 2 1]. Di solito, gli ordini del modello non sono noti in anticipo. Provare diversi valori di ordine del modello finché non vengono trovati gli ordini che producono un modello accettabile.

In alternativa, si può scegliere una struttura nello spazio degli stati per rappresentare il sistema massa-molla-smorzatore e stimare i parametri del modello utilizzando il comando ssest o n4sid.

m = ssest(data,2)

In questo caso, il secondo argomento 2 rappresenta l’ordine o il numero di stati nel modello.

Nella modellazione black-box, non è necessaria l’equazione di moto per il sistema, ma solo un’ipotesi degli ordini del modello.

Per ulteriori informazioni sulla creazione dei modelli, vedere Steps for Using the System Identification App e Model Estimation Commands.

Modellazione grey-box

In alcune situazioni, è possibile dedurre la struttura del modello dai principi fisici. Ad esempio, la relazione matematica tra la forza in ingresso e lo spostamento di massa risultante nel sistema molla-massa-smorzatore illustrata in Sistemi e modelli dinamici è ben nota. Nella forma nello spazio degli stati, il modello è dato da

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x (t) + B F (t) \\ y (t) = C x (t) \end{array}$

dove, x(t) = [y(t);v(t)] è il vettore di stato. I coefficienti A, B e C sono funzioni dei parametri del modello:

A = [0 1; –k/m –c/m]

B = [0; 1/m]

C = [1 0]

In questo caso, la struttura del modello è completamente nota mentre i valori dei suoi parametri non sono noti: m, c e k.

Nell’approccio grey-box, si utilizzano i dati per stimare i valori di parametri non noti della struttura del modello. Specificare la struttura del modello mediante un insieme di equazioni differenziali o alla differenza in MATLAB e fornire un’ipotesi iniziale per parametri specificati che non sono noti.

In generale, i modelli grey-box si creano:

Creando un template della struttura del modello.
Configurando i parametri del modello con valori iniziali e vincoli (se presenti).
Applicando un metodo estimativo alla struttura del modello e calcolando i valori dei parametri del modello.

La tabella seguente riassume i modi in cui è possibile specificare una struttura del modello grey-box.

Rappresentazione della struttura grey-box Per saperne di più

Rappresentazione della struttura grey-box	Per saperne di più
Rappresentazione della struttura del modello nello spazio degli stati come un oggetto del modello strutturato `idss` e stima delle matrici nello spazio degli stati A, B e C. È possibile calcolare i valori dei parametri, come m, c e k dalle matrici nello spazio degli stati A e B. Ad esempio, m = 1/B(2) e k = –A(2,1)m.	Estimate State-Space Models with Canonical Parameterization Estimate State-Space Models with Structured Parameterization
Rappresentazione della struttura del modello nello spazio degli stati come un oggetto del modello `idgrey`. È possibile stimare direttamente i valori dei parametri m, c e k.	Grey-Box Model Estimation

Rappresentazione della struttura del modello nello spazio degli stati come un oggetto del modello strutturato idss e stima delle matrici nello spazio degli stati A, B e C.

È possibile calcolare i valori dei parametri, come m, c e k dalle matrici nello spazio degli stati A e B. Ad esempio, m = 1/B(2) e k = –A(2,1)m.

Rappresentazione della struttura del modello nello spazio degli stati come un oggetto del modello idgrey. È possibile stimare direttamente i valori dei parametri m, c e k. Grey-Box Model Estimation

Valutazione della qualità del modello

Dopo aver stimato il modello, è possibile valutarne la qualità tramite:

In sostanza, la qualità del modello deve essere valutata in base all’adeguatezza dello stesso nel soddisfare le esigenze dell’applicazione. Per ulteriori informazioni su altre tecniche di analisi del modello disponibili, vedere Model Analysis.

Se non si ottiene un modello soddisfacente, è possibile migliorare i risultati in modo iterativo provando una struttura del modello diversa, modificando le impostazioni dell’algoritmo di stima o eseguendo un’ulteriore elaborazione dei dati. Se queste modifiche non dovessero portare a un miglioramento dei risultati, potrebbe essere necessario rivedere la progettazione sperimentale e le procedure di raccolta dei dati.

Confronto della risposta del modello con la risposta misurata

Tipicamente, la qualità di un modello si valuta confrontando la risposta del modello con l’uscita misurata per lo stesso segnale in ingresso.

Si supponga di utilizzare un approccio di modellazione black-box per creare modelli dinamici del sistema molla-massa-smorzatore e di provare varie strutture e ordini del modello, come:

model1 = arx(data, [2 1 1]);
model2 = n4sid(data, 3)

È possibile simulare questi modelli con un ingresso particolare e confrontare le loro risposte con i valori misurati dello spostamento per lo stesso ingresso, applicato a un sistema reale. La figura seguente confronta le risposte simulate con le risposte misurate per uno step in ingresso.

La figura indica che model2 è meglio di model1, poiché model2 si adatta meglio ai dati (65% contro 83%).

La percentuale di adattamento indica la concordanza tra la risposta del modello e l’uscita misurata: 100 indica un adattamento perfetto e 0 indica un adattamento scarso (ossia, l’uscita del modello ha lo stesso adattamento all’uscita misurata della media dell’uscita misurata).

Per ulteriori informazioni, vedere gli argomenti a pagina Compare Output with Measured Data.

Analisi dei residui

Il software System Identification Toolbox consente di eseguire analisi residue per valutare la qualità del modello. I residui rappresentano la porzione di dati in uscita non spiegati dal modello stimato. Un buon modello presenta residui non correlati, legati a ingressi passati.

Per ulteriori informazioni, vedere gli argomenti a pagina Residual Analysis.

Analisi dell’incertezza del modello

Quando si stimano i parametri del modello dai dati, i loro valori nominali accurati sono ottenuti all’interno di un intervallo di confidenza. La dimensione di questo intervallo è determinata dai valori delle incertezze dei parametri, calcolati durante la stima. L’ampiezza delle incertezze fornisce una misura dell’affidabilità del modello. Elevate incertezze nei parametri possono risultare da ordini del modello inutilmente alti, da livelli di eccitazione inadeguati nei dati in ingresso e da uno scarso rapporto segnale-rumore nei dati misurati.

È possibile calcolare e visualizzare l’effetto delle incertezze del parametro sulla risposta del modello nei domini del tempo e della frequenza utilizzando mappe a polo zero, grafici della risposta di Bode e grafici della risposta step. Ad esempio, nel seguente grafico di Bode di un modello stimato, gli intervalli ombreggiati rappresentano l’incertezza di grandezza e di fase della risposta in frequenza del modello, calcolata utilizzando l’incertezza nei parametri. Il grafico mostra che l’incertezza è bassa solo nell’intervallo di frequenza da 5 a 50 rad/s ad indicare che il modello è affidabile solo in questo intervallo di frequenza.

Per ulteriori informazioni, vedere Compute Model Uncertainty.

Risorse

La documentazione su System Identification Toolbox fornisce le informazioni necessarie per utilizzare questo prodotto. Sono disponibili ulteriori risorse di supporto per saperne di più su aspetti specifici della teoria e delle applicazioni di identificazione del sistema.

Il libro seguente descrive i metodi per l’identificazione del sistema e la modellazione fisica:

Ljung, Lennart, and Torkel Glad. Modeling of Dynamic Systems. Prentice Hall Information and System Sciences Series. Englewood Cliffs, NJ: PTR Prentice Hall, 1994.

Questi libri forniscono informazioni dettagliate sulla teoria e sugli algoritmi di identificazione del sistema:

Ljung, Lennart. System Identification: Theory for the User. Seconda ristampa. Prentice Hall Information and System Sciences Series. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1999.
Söderström, Torsten, and Petre Stoica. System Identification. Prentice Hall International Series in Systems and Control Engineering. New York: Prentice Hall, 1989.

Per informazioni sull'utilizzo dei dati nel dominio della frequenza, vedere il seguente libro:

Pintelon, Rik, and Johan Schoukens. System Identification. A Frequency Domain Approach. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2001. https://doi.org/10.1002/0471723134.

Per informazioni sull'identificazione non lineare, vedere i seguenti riferimenti:

Sjöberg, Jonas, Qinghua Zhang, Lennart Ljung, Albert Benveniste, Bernard Delyon, Pierre-Yves Glorennec, Håkan Hjalmarsson, and Anatoli Juditsky. “Nonlinear Black-Box Modeling in System Identification: A Unified Overview.” Automatica 31, no. 12 (December 1995): 1691–1724. https://doi.org/10.1016/0005-1098(95)00120-8.
Juditsky, Anatoli, Håkan Hjalmarsson, Albert Benveniste, Bernard Delyon, Lennart Ljung, Jonas SjÖberg, and Qinghua Zhang. “Nonlinear Black-Box Models in System Identification: Mathematical Foundations.” Automatica 31, no. 12 (December 1995): 1725–50. https://doi.org/10.1016/0005-1098(95)00119-1.
Zhang, Qinghua, and Albert Benveniste. “Wavelet Networks.” IEEE Transactions on Neural Networks 3, no. 6 (November 1992): 889–98. https://doi.org/10.1109/72.165591.
Zhang, Qinghua. “Using Wavelet Network in Nonparametric Estimation.” IEEE Transactions on Neural Networks 8, no. 2 (March 1997): 227–36. https://doi.org/10.1109/72.557660.

Per ulteriori informazioni su sistemi e segnali, vedere il seguente libro:

Oppenheim, Alan V., and Alan S. Willsky, Signals and Systems. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1985.

Il seguente libro di testo descrive le tecniche numeriche per la stima dei parametri utilizzando la minimizzazione dei criteri:

Dennis, J. E., Jr., and Robert B. Schnabel. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1983.

Argomenti complementari

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