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Scelta di una wavelet

Esistono due tipi di analisi wavelet: continua e multirisoluzione. Il tipo di analisi wavelet maggiormente adatta al proprio lavoro dipende da ciò che si desidera fare con i dati. Questo argomento è incentrato sui dati monodimensionali, ma è possibile applicare lo stesso principio ai dati bidimensionali. Per apprendere come eseguire e interpretare ciascun tipo di analisi, vedere Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform e Practical Introduction to Multiresolution Analysis.

Analisi tempo-frequenza

Se l'obiettivo è eseguire un'analisi dettagliata tempo-frequenza, scegliere la trasformata wavelet continua (CWT). In termini di implementazione, le scale sono discretizzate più precisamente nella CWT che nella trasformata wavelet discreta (DWT). Per ulteriori informazioni, vedere Trasformate wavelet discrete e continue.

Frequenza istantanea

La CWT è migliore della trasformata di Fourier a tempo breve (STFT) per i segnali in cui la frequenza istantanea cresce rapidamente. Nella figura seguente, le frequenze istantanee del sibilo iperbolico sono tracciate come linee tratteggiate nello spettrogramma e nello scalogramma derivato dalla CWT. Per ulteriori informazioni, vedere Time-Frequency Analysis and Continuous Wavelet Transform.

Localizzazione dei transienti

La CWT ha una buona prestazione nella localizzazione dei transienti nei segnali non stazionari. Nella figura seguente, si osservi come i coefficienti wavelet si allineino bene con i bruschi cambiamenti che si verificano nel segnale. Per ulteriori informazioni, vedere Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform.

Wavelet supportate

Per ottenere la trasformata wavelet continua dei dati, utilizzare cwt e cwtfilterbank. Entrambe le funzioni supportano le wavelet analitiche elencate nella tabella seguente. Per impostazione predefinita, cwt e cwtfilterbank utilizzano la famiglia wavelet di Morse generalizzata. Questa famiglia è definita da due parametri. È possibile variare i parametri per ricreare molte delle wavelet comunemente utilizzate. Nei grafici nel dominio del tempo, la linea rossa e le linee blu rappresentano rispettivamente le parti reali e le parti immaginarie della wavelet. I profili dei grafici mostrano la diffusione della wavelet nel tempo e nella frequenza. Per ulteriori informazioni, vedere Morse Wavelets e Generalized Morse and Analytic Morlet Wavelets.

WaveletFeatureNomeDominio del tempoDominio tempo-frequenza
Wavelet generalizzata di MorsePuò variare due parametri per modificare la diffusione nel tempo e nella frequenza"morse" (predefinita)

Wavelet analitica di Morlet (Gabor)Varianza uguale nel tempo e nella frequenza"amor"

Wavelet bumpVarianza più ampia nel tempo, varianza più ridotta nella frequenza"bump"

Tutte le wavelet nella tabella sono wavelet analitiche. Le wavelet analitiche sono wavelet con spettri unilaterali e a valore complesso nel dominio del tempo. Queste wavelet sono una buona scelta per ottenere un'analisi tempo-frequenza utilizzando la CWT. Poiché i coefficienti wavelet sono a valore complesso, la CWT fornisce informazioni sulla fase. cwt e cwtfilterbank supportano le wavelet analitiche a anti-analitiche. Per ulteriori informazioni, vedere CWT-Based Time-Frequency Analysis.

Analisi multirisoluzione

In un'analisi multirisoluzione (MRA), il segnale viene approssimato a scale progressivamente più grossolane, mentre si registrano le differenze tra le approssimazioni a scale consecutive. Le approssimazioni e le differenze vengono create prendendo la trasformata wavelet discreta (DWT) del segnale. La DWT fornisce una rappresentazione rada per molti segnali naturali. Le approssimazioni vengono create confrontando il segnale con copie scalate e traslate di una funzione di demoltiplicazione. Le differenze tra scale consecutive, note anche come dettagli, vengono catturate utilizzando copie scalate e traslate di una wavelet. Su una scala log2, la differenza tra scale consecutive è sempre 1. Nel caso della CWT, le differenze tra scale consecutive sono più precise.

Quando si genera l'MRA, è possibile sottocampionare (decimare) l'approssimazione di un fattore 2 ogni volta che si aumenta la scala, oppure non sottocampionarla. Ciascuna opzione offre vantaggi e svantaggi. Se si sottocampiona, si ottiene lo stesso numero di coefficienti wavelet del segnale originale. Nella DWT decimata, le traslazioni sono multipli interi della scala. Nella DWT non decimata, le traslazioni sono spostamenti interi. La DWT non decimata fornisce una rappresentazione ridondante dei dati originali, ma non così ridondante come la CWT. L'applicazione non solo influenza la scelta della wavelet, ma anche la versione della DWT da utilizzare.

Conservazione dell’energia

Se è importante conservare l'energia nella fase di analisi, è necessario utilizzare una wavelet ortogonale. Una trasformata ortogonale conserva l'energia. Considerare di utilizzare una wavelet ortogonale con supporto compatto. Tenere presente che, a eccezione della wavelet di Haar, le wavelet ortogonali con supporto compatto non sono simmetriche. I filtri associati hanno una fase non lineare. Questa tabella elenca le wavelet ortogonali supportate. Vedere wavemngr("read") per tutti i nomi delle famiglie di wavelet. Per saperne di più su una famiglia specifica, comprese le wavelet disponibili in quella famiglia, utilizzare waveinfo e il nome breve della famiglia. Ad esempio, waveinfo("db").

Famiglia di wavelet ortogonali
(Nome breve della famiglia)
FeatureNome della waveletVedere ancheRappresentazione
Daubechies meglio localizzata ("bl")

Wavelet a supporto compatto simili alle symlet; l’asimmetria delle symlet diminuisce nel tempo, minimizzando un secondo momento aggiuntivo nel tempo; il filtro di demoltiplicazione ha N momenti di fuga

"blN", dove N = 7, 9, e 10blscalf

Beylkin ("beyl")Ha 18 coefficienti e 3 momenti di fuga."beyl" 

Coiflet ("coif")La funzione di demoltiplicazione e le wavelet hanno lo stesso numero di momenti di fuga N"coifN", dove N = 1, 2, ..., 5coifwavf

Daubechies ("db")Fase non lineare; energia concentrata in prossimità dell’inizio del supporto; numero massimo di momenti di fuga N per una larghezza data del supporto"dbN", dove N = 1, 2, ..., 45dbaux, dbwavf, Coefficienti wavelet di fase estremale

Fejér-Korovkin ("fk")Filtri costruiti per minimizzare la differenza tra un filtro di demoltiplicazione valido e il filtro passa-basso sinc ideale; i filtri hanno N coefficienti e sono particolarmente utili nelle trasformate di pacchetti wavelet discreti (decimati e non decimati)."fkN", dove N = 4, 6, 8, 14, 18, 22fejerkorovkin

Haar ("haar")Simmetrico; caso speciale di Daubechies; utile per il rilevamento dell’estremità"haar" o, in modo equivalente, "db1" 

Momenti di fase lineare di Han ("han")Caratterizzato da un ordine specifico di regole della sommatoria SR e da un ordine di momenti di fase lineare LP"hanSR.LP"; per determinare i valori supportati, utilizzare waveinfo e il nome breve della famigliahanscalf

Larghezza minima di banda di Morris ("mb")Wavelet ortogonali a larghezza minima di banda di Morris, specificate dal numero di coefficienti del filtro (tap) N e dal livello della trasformata wavelet discreta L utilizzata nell’ottimizzazione; non superano i controlli di ortogonalità predefiniti in isorthwfb"mbN.L"; per determinare i valori supportati, utilizzare waveinfo e il nome breve della famigliambscalf

Symlet ("sym")Asimmetrico minimo; fase quasi lineare; N momenti di fuga"symN" per N = 2, 3, ..., 45symaux, symwavf, Least Asymmetric Wavelet and Phase

Vaidyanathan ("vaid")Ha 24 coefficienti; non supera i controlli di ortogonalità predefiniti in isorthwfb"vaid" 

A seconda di come si affrontano le distorsioni dei bordi, la DWT potrebbe non risparmiare energia nella fase di analisi. Per ulteriori informazioni, vedere Border Effects. La trasformata wavelet discreta a sovrapposizione massimale modwt e la trasformata di pacchetti wavelet discreta a sovrapposizione massimale modwpt conservano l’energia. La scomposizione di pacchetti wavelet dwpt non conserva l’energia.

Rilevamento delle feature

Se si desidera trovare feature ravvicinate, scegliere wavelet con supporto più piccolo, come haar, db2 o sym2. Il supporto della wavelet deve essere sufficientemente piccolo da separare le caratteristiche di interesse. Le wavelet con supporto più ampio tendono ad avere difficoltà a rilevare le feature ravvicinate. L’utilizzo di wavelet con un supporto ampio può produrre coefficienti che non distinguono le singole feature. Nella figura seguente, il grafico superiore mostra un segnale con picchi. Il grafico inferiore mostra i dettagli della MRA di primo livello di una DWT a sovrapposizione massimale utilizzando le wavelet haar (linee blu spesse) e db6 (linee rosse spesse).

Se i dati presentano transienti spaziati in modo rado, è possibile utilizzare wavelet con un supporto più ampio.

Analisi della varianza

Se l'obiettivo è condurre un'analisi della varianza, la trasformata wavelet discreta a sovrapposizione massimale (MODWT) è adatta allo scopo. La MODWT è una variante della DWT standard.

  • La MODWT conserva l'energia nella fase di analisi.

  • La MODWT suddivide la varianza tra le scale. Per gli esempi, vedere Wavelet Analysis of Financial Data e Wavelet Changepoint Detection.

  • La MODWT richiede una wavelet ortogonale, come una wavelet di Daubechies o una symlet.

  • La MODWT è una trasformata invariante allo spostamento. Lo spostamento dei dati in ingresso sposta i coefficienti wavelet di una quantità identica. La DWT decimata non è invariante allo spostamento. Lo spostamento dell'input modifica i coefficienti e può ridistribuire l'energia tra le scale.

Per ulteriori informazioni, vedere modwt, modwtmra e modwtvar. Vedere anche Comparing MODWT and MODWTMRA.

Ridondanza

Prendendo la DWT decimata wavedec di un segnale, utilizzando una famiglia ortonormale di wavelet, fornisce una rappresentazione minimamente ridondante del segnale. Non è presente alcuna sovrapposizione delle wavelet all'interno e attraverso le scale. Il numero di coefficienti è uguale al numero di campioni del segnale. Le rappresentazioni minimamente ridondanti sono una buona scelta per la compressione, quando si desidera rimuovere le feature che non vengono percepite.

La CWT di un segnale fornisce una rappresentazione altamente ridondante del segnale. È presente una sovrapposizione significativa delle wavelet all'interno e attraverso le scale. Inoltre, data la discretizzazione precisa delle scale, il costo per calcolare la CWT e memorizzare i coefficienti wavelet è significativamente maggiore rispetto alla DWT. Anche la MODWT modwt è una trasformata ridondante, ma il fattore di ridondanza è di solito significativamente inferiore rispetto alla CWT. La ridondanza tende a rafforzare le caratteristiche del segnale e le feature che si desidera esaminare, come le interruzioni di frequenza o altri eventi transienti.

Se il lavoro richiede la rappresentazione di un segnale con una ridondanza minima, utilizzare wavedec. Se il lavoro richiede una rappresentazione ridondante, utilizzare modwt o modwpt.

Riduzione del rumore

Una wavelet ortogonale, come una wavelet di Daubechies o una symlet, è una buona scelta per la riduzione del rumore nei segnali. Un wavelet biortogonale può anche essere utile per l'elaborazione di immagini. I filtri wavelet biortogonali hanno una fase lineare che è molto critica per l'elaborazione di immagini. L’utilizzo di una wavelet biortogonale non introduce distorsioni visive nell’immagine.

  • Una trasformata ortogonale non colora il rumore bianco. Se il rumore bianco è fornito come input in una trasformata ortogonale, l'output è il rumore bianco. L'esecuzione di una DWT con una wavelet biortogonale colora il rumore bianco.

  • Una trasformata ortogonale conserva l'energia.

La wavelet sym4 è la wavelet predefinita utilizzata in wdenoise e nell’app Wavelet Signal Denoiser. La wavelet biortogonale bior4.4 è la wavelet predefinita in wdenoise2.

Compressione

Se il lavoro prevede la compressione di segnali o immagini, considerare di utilizzare una wavelet biortogonale. Questa tabella elenca le wavelet ortogonali supportate con supporto compatto.

Famiglia di wavelet biortogonali
(Nome breve della famiglia)
FeatureNome della waveletRappresentazione
Spline biortogonale ("bior")Supporto compatto; filtri simmetrici; fase lineare; specificata da Nr e Nd, il numero di momenti di fuga rispettivamente dei filtri di ricostruzione e scomposizione"biorNr.Nd"; vedere waveinfo("bior") per i valori supportati

Spline biortogonale inversa ("rbio")Supporto compatto; filtri simmetrici; fase lineare; specificata da Nr e Nd, il numero di momenti di fuga rispettivamente dei filtri di ricostruzione e scomposizione"rbioNd.Nr"; vedere waveinfo("rbio") per i valori supportati

La presenza di due coppie di wavelet di demoltiplicazione, di cui una per l’analisi e una per la sintesi, è utile ai fini della compressione.

  • I filtri wavelet biortogonali sono simmetrici e hanno fase lineare. (Vedere Least Asymmetric Wavelet and Phase.)

  • Le wavelet utilizzate per l'analisi possono avere molti momenti di fuga. Una wavelet con N momenti di fuga è ortogonale ai polinomi di grado N-1. L’utilizzo di una wavelet con molti momenti di fuga comporta un minor numero di coefficienti wavelet significativi. La compressione è migliorata.

  • Le wavelet doppie utilizzate per la sintesi possono avere una migliore regolarità. Il segnale ricostruito è maggiormente uniforme.

L’utilizzo di un filtro di analisi con meno momenti di fuga rispetto a un filtro di sintesi può influire negativamente sulla compressione. Per un esempio, vedere Ricostruzione di immagini con le wavelet biortogonali.

Quando si utilizzano wavelet biortogonali, l'energia non viene conservata nella fase di analisi. Per ulteriori informazioni, vedere Orthogonal and Biorthogonal Filter Banks.

Considerazioni generali

Le wavelet hanno proprietà che ne regolano il comportamento. A seconda di ciò che si vuole fare, alcune proprietà possono essere più importanti.

Ortogonalità

Se una wavelet è ortogonale, la trasformata wavelet conserva l'energia. Ad eccezione della wavelet di Haar, nessuna wavelet ortogonale con supporto compatto è simmetrica. Il filtro associato ha una fase non lineare.

Momenti di fuga

Una wavelet con N momenti di fuga è ortogonale ai polinomi di grado N-1. Per un esempio, vedere Wavelet e momenti di fuga. Il numero di momenti di fuga e l'oscillazione della wavelet hanno una relazione labile. All’aumentare del numero di momenti di fuga, aumenta l’oscillazione della wavelet.

Il numero di momenti di fuga influenza anche il supporto di una wavelet. Daubechies ha dimostrato che una wavelet con N momenti di fuga deve avere un supporto di lunghezza di almeno 2 N-1.

I nomi di molte wavelet derivano dal numero di momenti di fuga. Ad esempio, db6 è la wavelet di Daubechies con sei momenti di fuga e sym3 è la symlet con tre momenti di fuga. Per le wavelet coiflet, coif3 è la coiflet con sei momenti di fuga. Per le wavelet Fejér-Korovkin, fk8 è la wavelet Fejér-Korovkin con un filtro di lunghezza 8. I nomi delle wavelet biortogonali derivano dal numero di momenti di fuga che hanno ciascuna wavelet di analisi e ciascuna wavelet di sintesi. Ad esempio, bior3.5 è la wavelet biortogonale con tre momenti di fuga nella wavelet di sintesi e cinque momenti di fuga nella wavelet di analisi. Per saperne di più, vedere waveinfo e wavemngr.

Se il numero di momenti di fuga N è uguale a 1, 2 o 3, allora dbN e symN sono identici.

Regolarità

La regolarità è legata al numero di derivate continue che possiede una funzione. Intuitivamente, la regolarità può essere considerata una misura dell’uniformità. Per rilevare un cambiamento brusco nei dati, una wavelet deve essere sufficientemente regolare. Affinché una wavelet abbia N derivate continue, la wavelet deve avere almeno N+1 momenti di fuga. Per un esempio, vedere Detecting Discontinuities and Breakdown Points. Se i dati sono relativamente uniformi, una wavelet più regolare potrebbe essere maggiormente adatta al lavoro.

Riferimenti

[1] Daubechies, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

[2] Morris, Joel M, and Ravindra Peravali. “Minimum-Bandwidth Discrete-Time Wavelets.” Signal Processing 76, no. 2 (July 1999): 181–93. https://doi.org/10.1016/S0165-1684(99)00007-9.

[3] Doroslovački, M.L. “On the Least Asymmetric Wavelets.” IEEE Transactions on Signal Processing 46, no. 4 (April 1998): 1125–30. https://doi.org/10.1109/78.668562.

[4] Han, Bin. “Wavelet Filter Banks.” In Framelets and Wavelets: Algorithms, Analysis, and Applications, 92–98. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Cham, Switzerland: Birkhäuser, 2017. https://doi.org/10.1007/978-3-319-68530-4_2.

Vedi anche

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