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Trasformata wavelet continua e analisi basata sulla scala

Definizione della trasformata wavelet continua

Come la trasformata di Fourier, la trasformata wavelet continua (CWT) utilizza i prodotti interni per misurare la somiglianza tra un segnale e una funzione di analisi. Nella trasformata di Fourier, le funzioni di analisi sono funzioni esponenziali complesse, ejωt. La trasformata risultante è una funzione di una singola variabile, ω. Nella trasformata di Fourier a tempo breve (STFT), le funzioni di analisi sono funzioni finestra esponenziali complesse, w(t)ejωt, il cui risultato è una funzione di due variabili. I coefficienti STFT, F(ω,τ), rappresentano la corrispondenza tra il segnale e una sinusoide con frequenza angolare ω, in un intervallo di lunghezza specifica centrato su τ.

Nella CWT, la funzione di analisi è una wavelet, ψ. La CWT confronta il segnale con versioni spostate e compresse o allungate di una wavelet. L’allungamento o la compressione di una funzione sono definite collettivamente come dilatazione o scalatura e corrisponde alla nozione fisica di scala. Confrontando il segnale con la wavelet a varie scale e posizioni, si ottiene una funzione di due variabili. La rappresentazione bidimensionale di un segnale monodimensionale è ridondante. Se la wavelet è a valore complesso, la CWT è una funzione a valore complesso di scala e di posizione. Se il segnale è a valore reale, la CWT è una funzione a valore reale di scala e di posizione. Per un parametro di scala a>0 e posizione b, la CWT è:

C(a,b;f(t),ψ(t))=f(t)1aψ*(tba)dt

dove * indica la coniugazione complessa. Non solo i valori di scala e posizione influiscono sui coefficienti CWT, ma anche la scelta della wavelet influisce sui valori dei coefficienti.

Variando continuamente i valori del parametro di scala a e il parametro di posizione b, si ottengono i coefficienti cwt C(a,b). Si noti che, per comodità, la dipendenza dei coefficienti CWT è stata soppressa dalla funzione e dall’analisi wavelet.

Moltiplicando ciascun coefficiente per la wavelet opportunamente scalata e spostata si ottengono le wavelet costitutive del segnale originale.

Esistono diverse wavelet ammissibili che possono essere utilizzate nella CWT. Anche se sembra che la presenza di così tante scelte di analisi wavelet crei confusione, in realtà è un punto di forza dell’analisi wavelet. A seconda delle feature del segnale che si sta cercando di rilevare, si ha la possibilità di selezionare una wavelet che faciliti il rilevamento di tale feature. Ad esempio, se si sta cercando di rilevare discontinuità brusche nel segnale, si può scegliere una wavelet. D'altra parte, se si è interessati a rilevare oscillazioni con inizi e compensazioni uniformi, si è liberi di scegliere una wavelet che si avvicini maggiormente a questo comportamento.

Scala

Come per il concetto di frequenza, la scala è un'altra proprietà utile dei segnali e delle immagini. Ad esempio, è possibile analizzare i dati relativi alla temperatura per le variazioni su scale diverse. Si possono esaminare le variazioni da un anno all'altro o da un decennio all'altro. Naturalmente, è possibile esaminare anche cambiamenti su scala più precisa (giorno per giorno) o più grossolana. Alcuni processi rivelano cambiamenti interessanti su scale temporali o spaziali sul lungo periodo che non sono evidenti su scale temporali o spaziali brevi. Si verifica anche la situazione opposta. Alcune delle nostre capacità percettive presentano un’invarianza di scala. Riconosciamo le persone che conosciamo indipendentemente dal fatto che guardiamo un ritratto grande o una fotografia piccola.

Per andare oltre le descrizioni colloquiali come “allungamento” o “restringimento”, si introduce il fattore di scala, spesso indicato con la lettera a. Il fattore di scala è una quantità intrinsecamente positiva a>0. L'effetto del fattore di scala è molto facile da vedere per le sinusoidi.

In sin(at), la scala è l’inverso della frequenza radiante a.

Il fattore di scala funziona esattamente allo stesso modo con le wavelet. Più è piccolo il fattore di scala, più è “compressa" la wavelet. Al contrario, più è grande il fattore di scala, più è allungata la wavelet. La figura seguente illustra questo aspetto per le wavelet alle scale 1, 2 e 4.

Questa relazione inversa generale tra scala e frequenza vale per i segnali in generale.

La rappresentazione tempo-scala non è solo un modo diverso di vedere i dati, ma è anche un modo molto naturale di vedere i dati derivati da un gran numero di fenomeni naturali.

Scala e frequenza

Esiste chiaramente una relazione tra scala e frequenza. Si ricordi che le scale più lunghe corrispondono alle wavelet più "allungate". Più la wavelet è allungata, più è lunga la porzione di segnale con cui viene confrontata e quindi più grossolane sono le feature del segnale misurate dai coefficienti wavelet.

In sintesi, la corrispondenza generale tra scala e frequenza è la seguente:

  • Scala corta a ⇒ Wavelet compressa ⇒ Dettagli in rapido cambiamento ⇒ Alta frequenza ω.

  • Scala lunga a ⇒ Wavelet allungata ⇒ Cambiamenti lenti, feature grossolane ⇒ Bassa frequenza ω.

Sebbene esista una relazione generale tra scala e frequenza, non esiste una relazione precisa. Gli utenti che hanno familiarità con l'analisi di Fourier spesso desiderano definire una mappatura tra un wavelet a una determinata scala con un periodo di campionamento specificato e una frequenza in hertz. Questo è possibile solo in senso generale. Pertanto, è meglio parlare della pseudo-frequenza corrispondente a una scala. Il software Wavelet Toolbox™ fornisce due funzioni centfrq e scal2frq, che consentono di trovare queste relazioni approssimative scala-frequenza per wavelet e scale specificate.

L'approccio di base identifica il picco di potenza nella trasformata di Fourier della wavelet come sua frequenza centrale e divide quel valore per il prodotto della scala e dell'intervallo di campionamento. Vedere scal2frq per i dettagli. Questa figura mostra la corrispondenza tra la frequenza centrale stimata della wavelet db8 e una sinusoide della stessa frequenza.

La relazione tra scala e frequenza nella CWT viene esplorata anche in Trasformata wavelet continua come filtro passa-banda.

Spostamento

Spostare una wavelet significa semplicemente ritardare (o anticipare) il suo inizio. Matematicamente, ritardare una funzione f(t) di k è rappresentato da f(tk):

CWT come trasformata a finestra

In Trasformata di Fourier a tempo breve, la STFT è descritta come una finestratura del segnale per creare un'analisi locale della frequenza. Un difetto dell'approccio STFT è che la dimensione della finestra è costante. La scelta della dimensione della finestra comporta un compromesso. Una finestra temporale più lunga migliora la risoluzione in frequenza, ma comporta una risoluzione temporale inferiore, poiché la trasformata di Fourier perde tutta la risoluzione temporale per tutta la durata della finestra. Al contrario, una finestra temporale più corta migliora la localizzazione temporale, ma comporta una minore risoluzione in frequenza.

L'analisi wavelet rappresenta il passo logico successivo: una tecnica di finestratura con regioni di dimensioni variabili. L'analisi wavelet consente di utilizzare intervalli di tempo lunghi, per i quali si desidera ottenere informazioni più precise a bassa frequenza, e regioni più brevi per le quali si desidera ottenere informazioni ad alta frequenza.

La figura seguente paragona i diversi modi in cui la STFT e l'analisi wavelet scompongono il piano tempo-frequenza.