Analisi della risposta di un circuito RLC

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Questo esempio mostra come analizzare le risposte di frequenza e di tempo dei comuni circuiti RLCi in funzione dei loro parametri fisici, utilizzando le funzioni della Control System Toolbox™.

Rete RLC passa-banda

La figura seguente mostra la forma parallela di un circuito RLC passa-banda.

rlc_01.png

La funzione di trasferimento dalla tensione di input a quella di output è:

G(s)=s/(RC)s2+s/(RC)+1/(LC)

Il prodotto LC controlla la frequenza passa-banda, mentre RC controlla quanto è stretta la banda passante. Per costruire un filtro passa-banda sincronizzato sulla frequenza 1 rad/s, impostare L=C=1 e utilizzare R per sincronizzare la banda del filtro.

Analisi della risposta di frequenza del circuito

Il grafico di Bode è uno strumento utile per studiare le caratteristiche di banda passante della rete RLC. Utilizzare tf per specificare la funzione di trasferimento del circuito per i valori R=L=C=1.

R = 1; L = 1; C = 1;
G = tf([1/(R*C) 0],[1 1/(R*C) 1/(L*C)])
G =
 
       s
  -----------
  s^2 + s + 1
 
Continuous-time transfer function.
Model Properties

Tracciare la risposta in frequenza del circuito.

bodeplot(G)
grid on

MATLAB figure

Come previsto, il filtro RLC ha il massimo guadagno alla frequenza di 1 rad/s. Tuttavia, l'attenuazione è di soli -10 dB a mezza decade di distanza da questa frequenza. Per ottenere una banda passante più stretta, provare ad aumentare i valori di R come segue.

R1 = 5;
G1 = tf([1/(R1*C) 0],[1 1/(R1*C) 1/(L*C)]);
R2 = 20;
G2 = tf([1/(R2*C) 0],[1 1/(R2*C) 1/(L*C)]);

bodeplot(G,"b",G1,"r",G2,"g")
grid on
legend("R = 1","R = 5","R = 20");

MATLAB figure

Il valore della resistenza R=20 fornisce un filtro strettamente sincronizzato intorno alla frequenza target di 1 rad/s.

Analisi della risposta di tempo del circuito

È possibile confermare le proprietà di attenuazione del circuito G2 (R=20) simulando il modo in cui questo filtro trasforma le onde sinusoidali con frequenza 0,9, 1 e 1,1 rad/s.

t = 0:0.05:250;
subplot(3,1,1)
lp1 = lsimplot(G2,sin(t),t);
lp1.Title.FontSize = 8;
lp1.XLabel.FontSize = 8;
lp1.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 1")
subplot(3,1,2)
lp2 = lsimplot(G2,sin(0.9*t),t);
lp2.Title.FontSize = 8;
lp2.XLabel.FontSize = 8;
lp2.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 0.9")
subplot(3,1,3)
lp3 = lsimplot(G2,sin(1.1*t),t);
lp3.Title.FontSize = 8;
lp3.XLabel.FontSize = 8;
lp3.YLabel.FontSize = 8;
title("w = 1.1")

MATLAB figure

Le onde a 0,9 e 1,1 rad/s sono notevolmente attenuate. L'onda a 1 rad/s risulta invariata una volta che i transitori si esauriscono. Il lungo transitorio è dovuto ai poli poco smorzati dei filtri, che purtroppo sono necessari per ottenere una banda passante stretta.

damp(pole(G2))
                                                                        
         Pole              Damping       Frequency       Time Constant  
                                       (rad/TimeUnit)     (TimeUnit)    
                                                                        
 -2.50e-02 + 1.00e+00i     2.50e-02       1.00e+00          4.00e+01    
 -2.50e-02 - 1.00e+00i     2.50e-02       1.00e+00          4.00e+01

Vedi anche

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