gradient

Gradiente numerico

Sintassi

FX = gradient(F)

[FX,FY] = gradient(F)

[FX,FY,FZ,...,FN] = gradient(F)

[___] = gradient(F,h)

[___] = gradient(F,hx,hy,...,hN)

Descrizione

FX = gradient(F) restituisce il gradiente numerico monodimensionale del vettore F. L'output FX corrisponde a ∂F/∂x, che sono le differenze nella direzione x (orizzontale). Si presume che la spaziatura tra i punti sia 1.

[FX,FY] = gradient(F) restituisce i componenti x e y del gradiente numerico bidimensionale della matrice F. L'ulteriore output FY corrisponde a ∂F/∂y, che sono le differenze nella direzione y (verticale). Si presume che la spaziatura tra i punti in ciascuna direzione sia 1.

[FX,FY,FZ,...,FN] = gradient(F) restituisce i componenti N del gradiente numerico di F, dove F è un array con N dimensioni.

[___] = gradient(F,h) utilizza h come spaziatura uniforme tra i punti in ciascuna direzione. È possibile specificare uno qualsiasi degli argomenti di output nelle sintassi precedenti.

[___] = gradient(F,hx,hy,...,hN) specifica i parametri di spaziatura N per la spaziatura in ciascuna dimensione di F.

Esempi

Gradiente del vettore

Calcolare il gradiente di un vettore crescente in modo monotono.

x = 1:10

x = 1×10

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

fx = gradient(x)

fx = 1×10

     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

Grafico di contorno del campo vettoriale

Calcolare il gradiente bidimensionale di $$x{e}^{-x^2-y^2}$$ su una griglia.

x = -2:0.2:2;
y = x';
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
[px,py] = gradient(z);

Tracciare le linee del contorno e i vettori nella stessa figura.

figure
contour(x,y,z)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off

Approssimazione della funzione lineare

Utilizzare il gradiente in un punto specifico per approssimare il valore della funzione in modo lineare al punto vicino e confrontarlo con il valore effettivo.

L'equazione per l'approssimazione lineare del valore di una funzione è

$$f(x)\approx f(x_0)+{\left(\nabla f\right)}_{x_0}\cdot (x-x_0).$$

Ossia, se il valore della funzione $$f(x_0)$$ e la pendenza della derivata $${\left(\nabla f\right)}_{x_0}$$ sono note in un punto particolare $$x_0$$, è possibile utilizzare queste informazioni per approssimare il valore della funzione al punto vicino $$f(x)=f(x_0+ϵ)$$.

Calcolare alcuni valori della funzione seno compresi tra -1 e 0,5. Quindi calcolare il gradiente.

y = sin(-1:0.25:0.5);
yp = gradient(y,0.25);

Utilizzare il valore della funzione e la derivata in x = 0.5 per prevedere il valore di sin(0.5005).

y_guess = y(end) + yp(end)*(0.5005 - 0.5)

y_guess = 
0.4799

Calcolare il valore effettivo per il confronto.

y_actual = sin(0.5005)

y_actual = 
0.4799

Calcolo del gradiente in un punto specificato

Trovare il valore del gradiente di una funzione multivariata in un punto specificato.

Si consideri la funzione multivariata $$f(x,y)=x^2{y}^3$$.

x = -3:0.2:3;
y = x';
f = x.^2 .* y.^3;
surf(x,y,f)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')

Calcolare il gradiente sulla griglia.

[fx,fy] = gradient(f,0.2);

Estrarre il valore del gradiente nel punto (1,-2). A tal fine, occorre innanzitutto ottenere gli indici del punto su cui si desidera lavorare. Quindi, utilizzare gli indici per estrarre i valori corrispondenti del gradiente da fx e fy.

x0 = 1;
y0 = -2;
t = (x == x0) & (y == y0);
indt = find(t);
f_grad = [fx(indt) fy(indt)]

f_grad = 1×2

  -16.0000   12.0400

Il valore esatto del gradiente di $$f(x,y)=x^2{y}^3$$ nel punto (1,-2) è

$$\begin{array}{cl}{\left(\nabla f\right)}_{(1,-2)}& =2x{y}^3\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3x^2{y}^2\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ & =-16\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+12\underset{}{\overset{ˆ}{j}}.\end{array}$$

Argomenti di input

F — Array di input

vettore | matrice | array multidimensionale

Array di input, specificato come vettore, matrice o array multidimensionale.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

h — Spaziatura uniforme tra i punti

1 (predefinito) | scalare

Spaziatura uniforme tra i punti in tutte le direzioni, specificata come scalare.

Esempio [FX,FY] = gradient(F,2)

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

hx, hy, hN — Spaziatura tra i punti (come input separati)

1 (predefinito) | scalari | vettori

Spaziatura tra i punti in ciascuna direzione, specificata come input separati di scalari o vettori. Il numero di input deve corrispondere al numero di dimensioni dell'array di F. Ciascun input può essere uno scalare o un vettore:

• Uno scalare specifica una spaziatura costante in quella dimensione.

• Un vettore specifica le coordinate dei valori lungo la dimensione corrispondente di F. In questo caso, la lunghezza del vettore deve corrispondere alla grandezza della dimensione corrispondente.

Esempio [FX,FY] = gradient(F,0.1,2)

Esempio [FX,FY] = gradient(F,[0.1 0.3 0.5],2)

Esempio [FX,FY] = gradient(F,[0.1 0.3 0.5],[2 3 5])

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

Argomenti di output

FX, FY, FZ, FN — Gradienti numerici

array

Gradienti numerici, restituiti come array della stessa grandezza di F. Il primo output FX è sempre il gradiente lungo la 2a dimensione di F, che attraversa le colonne. Il secondo output FY è sempre il gradiente lungo la 1a dimensione di F, che attraversa le righe. Per il terzo output FZ e per quelli successivi, l'N-esimo output è il gradiente lungo l'N-esima dimensione di F.

Ulteriori informazioni

Gradiente numerico

Il gradiente numerico di una funzione è un modo per stimare i valori delle derivate parziali in ciascuna dimensione utilizzando i valori noti della funzione in determinati punti.

Per una funzione di due variabili, F(x,y), il gradiente è

$$\nabla F=\frac{\partial F}{\partial x}\widehat{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\widehat{j}.$$

Il gradiente può essere considerato come una raccolta di vettori che puntano nella direzione dei valori crescenti di F. In MATLAB^®, è possibile calcolare i gradienti numerici per funzioni con qualsiasi numero di variabili. Per una funzione di N variabili, F(x,y,z, ...), il gradiente è

$$\nabla F=\frac{\partial F}{\partial x}\widehat{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\widehat{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\widehat{k}+\mathrm{...}+\frac{\partial F}{\partial N}\widehat{n}.$$

Suggerimenti

• Utilizzare diff o un algoritmo personalizzato per calcolare più derivate numeriche, piuttosto che chiamare gradient più volte.

Algoritmi

gradient calcola la differenza centrale per i punti dati interni. Ad esempio, consideriamo una matrice con dati spaziati in modo unitario A, che ha un gradiente orizzontale G = gradient(A). I valori interni del gradiente G(:,j) sono

G(:,j) = 0.5*(A(:,j+1) - A(:,j-1));

Il pedice j varia tra 2 e N-1, con N = size(A,2).

gradient calcola i valori lungo i bordi della matrice con differenze unilaterali:

G(:,1) = A(:,2) - A(:,1);
G(:,N) = A(:,N) - A(:,N-1);

Se si specifica la spaziatura tra i punti, gradient ridimensiona le differenze in modo appropriato. Se si specificano due o più output, la funzione calcola anche le differenze lungo altre dimensioni in modo analogo. A differenza della funzione diff, gradient restituisce un array con lo stesso numero di elementi dell'input.

Funzionalità estese

Generazione di codice C/C++
Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Generazione di codice GPU
Genera codice CUDA® per GPU NVIDIA® con GPU Coder™.

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

La funzione gradient supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Array GPU

Accelera il codice mediante esecuzione su un’unità di elaborazione grafica (GPU) con Parallel Computing Toolbox™.

La funzione gradient supporta completamente gli array di GPU. Per eseguire la funzione su una GPU, specificare i dati di input come un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

del2 | diff

Argomenti

• Calculate Tangent Plane to Surface