Calculo numérico: Método de Cholesky

Definir una matriz A ∈ R n×n, como:

donde h es el tamaño del paso, y n se define como n = (1/h) − 1.

Y un vector b ∈ R n, definido como:

Estas definiciones corresponden a la discretización del siguiente problema de valores de frontera:

1. Escriba una función que reciba como entrada un valor para h y devuelva la matriz A y el vector b correspondientes.

2. Llame a la función escrita en el apartado anterior con h = 0.1. Verifique si A es simétrica y definida positiva utilizando el comando chol para obtener la factorización de Cholesky de A.

3. Resuelva el sistema Au = b utilizando la factorización de Cholesky de A. El vector solución u representa una aproximación a los valores de la solución de u(x) en los puntos h, 2h, . . . , nh.

a) Grafique, en un mismo gráfico:

• La solución aproximada u, extendida con los valores de u(0) = 0 y u(1) = 1.

• La solución analítica u(x) = 2(x^2) − 2x + 1, evaluada en 100 puntos igualmente espaciados en el intervalo [0, 1].

[Steven Lord]

Esto parece una tarea para hacer en casa. Si lo es, muéstrenos el código que ha escrito para intentar resolver el problema y haga una pregunta específica sobre dónde tiene dificultades y es posible que podamos brindarle alguna orientación.

Si no está seguro por dónde empezar porque no está familiarizado con la forma de escribir código MATLAB, le sugiero que comience con el tutorial gratuito MATLAB Onramp para aprender rápidamente los conceptos básicos de MATLAB.

Si no está seguro por dónde empezar porque no está familiarizado con las matemáticas que necesitará para resolver el problema, le recomiendo que pida ayuda a su profesor o asistente de enseñanza.

[Google Translate of my standard "homework" Quick Reply.]

[Fabian]

function [A, b] = frontera_discretizacion(h)
h = 0.1;
n = (1/h) - 1;
b1 = -4 * ones(n, 1);

% Construcción del segundo término: vector con 1 en los extremos y 0 en medio
b2 = zeros(n, 1);
b2(1) = 1;     % Primer componente es 1
b2(end) = 1;   % Último componente es 1
b2 = (1/h^2) * b2; % Multiplicación por el factor 1/h^2

% Definición de b como la suma de los dos términos
b = b1 + b2;

% Mostrar resultado
disp('El vector b es:');
disp(b);

diagonal_principal = (2 / h^2) * ones(n, 1);
diagonal_inferior_superior = (-1 / h^2) * ones(n, 1);
A = spdiags([diagonal_inferior_superior, diagonal_principal, diagonal_inferior_superior], -1:1, n, n);
end

Este es el codigo que he conseguido para hacer el vector y la matriz. Pero no se que codigo debo usar para: verificar si A es simétrica y definida positiva utilizando el comando chol para obtener la factorización de Cholesky de A.

[Walter Roberson]

[R,flag] = chol(A);
if flag == 0
    fprintf('A was symmetric positive definite\n');
else
    fprintf('A not symmetric positive definite. Pivot failed at location %d\n', flag);
end