Posizionamento dei poli

Le posizioni dei poli a loop chiuso hanno un impatto diretto sulle caratteristiche delle risposte temporali, quali tempo di salita, tempo di assestamento e oscillazioni transitorie. Il metodo del luogo delle radici utilizza i guadagni del compensatore per spostare i poli a loop chiuso al fine di ottenere le specifiche di progettazione per i sistemi SISO. Tuttavia è possibile utilizzare tecniche stato-spazio per assegnare i poli a loop chiuso. Questa tecnica di progettazione è nota come posizionamento dei poli e presenta le seguenti differenze rispetto al metodo del luogo delle radici:

• Utilizzando le tecniche di posizionamento dei poli è possibile progettare compensatori dinamici.

• Le tecniche di posizionamento dei poli sono applicabili ai sistemi MIMO.

Il posizionamento dei poli richiede un modello stato-spazio del sistema (utilizzare ss per convertire gli altri formati di modello nel formato stato-spazio). Nel tempo continuo, questi modelli hanno la forma

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

dove u è il vettore degli input di controllo, x il vettore di stato e y il vettore delle misure.

Selezione del guadagno di feedback di stato

Sotto l’equazione del feedback di stato $$u=-Kx$$, le dinamiche a loop chiuso sono date da

$$\dot{x}=(A-BK)x$$

e i poli a loop chiuso sono gli autovalori di A-BK. Utilizzando la funzione place è possibile calcolare una matrice di guadagno K che assegni questi poli alle posizioni desiderate sul piano complesso (purché (A,B) sia controllabile).

Ad esempio, per le matrici di stato A e B, e il vettore p che contiene le posizioni desiderate dei poli a loop chiuso,

K = place(A,B,p);

calcola una matrice di guadagno appropriata K.

Progettazione dello stimatore di stato

Non è possibile implementare la legge del feedback di stato $$u=-Kx$$ a meno che non si disponga della misura completa dello stato x. È però possibile costruire una stima dello stato $$\xi$$ in base alla quale la legge $$u=-K\xi$$ mantiene un’assegnazione dei poli e proprietà di loop chiuso simili. Questo risultato si può ottenere progettando uno stimatore (osservatore) di stato di forma

$$\dot{\xi }=A\xi +Bu+L(y-C\xi -Du)$$

I poli dello stimatore sono gli autovalori di A-LC, che possono essere assegnati arbitrariamente mediante la selezione corretta della matrice del guadagno dello stimatore L, purché (C, A) sia osservabile. Generalmente le dinamiche dello stimatore devono essere più veloci delle dinamiche del controller (autovalori di A-BK).

Utilizzare la funzione place per calcolare la matrice L

L = place(A',C',q).'

dove A e C sono le matrici di stato e di output e q è il vettore contenente i poli a loop chiuso desiderati per l’osservatore.

La sostituzione di x con la sua stima $$\xi$$ in $$u=-Kx$$ fornisce il compensatore del feedback di output dinamico

$$\begin{array}{l}\dot{\xi }=[A-LC-(B-LD)K]\xi +Ly\\ u=-K\xi \end{array}$$

Osservare che le dinamiche a loop chiuso risultanti sono

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right],e=x-\xi$$

Pertanto, in realtà tutti i poli a loop chiuso vengono assegnati posizionando indipendentemente gli autovalori di A-BK e di A-LC.

Esempio

Dato un modello stato-spazio a tempo continuo

sys_pp = ss(A,B,C,D) 

con sette output e quattro input, supponiamo di aver progettato

• Un guadagno del controller del feedback di stato K utilizzando gli input 1, 2 e 4 dell’impianto come input di controller

• Uno stimatore di stato con guadagno L utilizzando gli output 4,7 e 1 dell’impianto come sensori

• L’input 3 dell’impianto come input noto aggiuntivo

È dunque possibile collegare il controller e lo stimatore e formare il compensatore dinamico utilizzando il seguente codice:

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Strumenti di posizionamento dei poli

È possibile utilizzare le funzioni per

• Calcolare le matrici di guadagno K e L in grado di ottenere le posizioni desiderate dei poli a loop chiuso.

• Formare lo stimatore di stato e il compensatore dinamico tramite questi guadagni.

La seguente tabella offre un riepilogo delle funzioni per il posizionamento dei poli.

Funzioni	Descrizione
estim	Formazione dello stimatore di stato dato il guadagno dello stimatore
place	Progettazione del posizionamento dei poli
reg	Formazione del feedback di output dati il feedback di stato e i guadagni dello stimatore

Attenzione

Il posizionamento dei poli può essere condizionato negativamente se si scelgono posizioni dei poli non realistiche. In particolare, è opportuno evitare:

• Di collocare più poli nella stessa posizione.

• Di spostare poli che sono già debolmente controllabili o osservabili. Normalmente questo richiede un guadagno elevato, che a sua volta rende l’intera autostruttura a loop chiuso estremamente sensibile alla perturbazione.

Vedi anche

estim | place | reg