lqi

Controllo lineare-quadratico-integrale

Sintassi

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N)


Descrizione

lqi calcola una legge di controllo del feed-back di stato ottimale per il loop di tracking mostrato nella figura seguente.

Per un impianto sys con equazioni stato-spazio (o la loro controparte discreta):

$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

il controllo del feedback di stato si presenta nella forma

$$u=-K[x;x_i]$$

, dove x_i è l'output dell'integratore. Questa legge di controllo assicura che l'output y segua il comando di riferimento r. Per i sistemi MIMO, il numero di integratori è uguale alla dimensione dell'output y.

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N) calcola la matrice di guadagno ottimale K, dato un modello stato-spazio SYS per l'impianto e le matrici di ponderazione Q, R, N. La legge di controllo u = –Kz = –K[x;x_i] minimizza le seguenti funzioni di costo (per r = 0)

• $$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}dt}$$ per il tempo continuo

• $$J(u)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}}$$ per il tempo discreto

A tempo discreto, lqi calcola l'output dell'integratore x_i utilizzando la formula di Eulero in avanti

$$x_i[n+1]=x_i[n]+Ts(r[n]-y[n])$$

, dove Ts è il tempo di campionamento di SYS.

Quando si omette la matrice N, N viene impostato su 0. lqi restituisce inoltre la soluzione S dell'equazione algebrica di Riccati associata e gli autovalori a loop chiuso e.

Limiti

Per il seguente sistema stato-spazio con un impianto con integratore aumentato:

$$\begin{array}{l}\frac{\delta z}{\delta t}=A_{a}z+B_{a}u\\ y=C_{a}z+D_{a}u\end{array}$$

I dati del problema devono soddisfare i seguenti criteri:

• La coppia (A,B) deve essere stabilizzabile.

• R deve essere positivo definito.

• $$\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]$$ deve essere positivo semi-definito (equivalentemente, $$Q-N{R}^{-1}{N}^T\ge 0$$).

• $$\left(Q-N{R}^{-1}{N}^T,A_a-B_a{R}^{-1}{N}^T\right)$$ non deve presentare alcuna modalità non osservabile sull'asse immaginario (o cerchio unitario a tempo discreto).

Suggerimenti

lqi supporta modelli descrittori con non singolarità E. L'output S di lqi è la soluzione dell'equazione di Riccati per il modello stato-spazio esplicito equivalente

$$\frac{dx}{dt}=E^{-1}Ax+E^{-1}Bu$$

Riferimenti

[1] P. C. Young and J. C. Willems, "An approach to the linear multivariable servomechanism problem", International Journal of Control, Volume 15, Issue 5, May 1972 , pages 961–979.

Cronologia versioni

Introdotto in R2008b

Vedi anche

lqr | lqgreg | lqgtrack | lqg | care | dare