lqr

Progettazione del regolatore lineare quadratico (LQR)

Sintassi

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N)

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N)

Descrizione

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N) calcola la matrice di guadagno ottimale K, la soluzione S dell'equazione algebrica di Riccati associata e i poli a loop chiuso P per il modello stato-spazio a tempo continuo o a tempo discreto sys. Q e R sono le matrici dei pesi rispettivamente per gli stati e per gli input. La matrice dei termini incrociati N è impostata su zero quando è omessa.

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N) calcola la matrice di guadagno ottimale K, la soluzione S dell'equazione algebrica di Riccati associata e i poli a loop chiuso P utilizzando le matrici stato-spazio a tempo continuo A e B. Questa sintassi è valida solo per i modelli a tempo continuo. Per i modelli a tempo discreto, utilizzare dlqr.

Esempi

Controllo LQR per il modello a pendolo inverso

pendulumModelCart.mat contiene il modello stato-spazio di un pendolo inverso su un carrello in cui gli output sono lo spostamento del carrello x e l'angolo del pendolo $\theta$. L'input di controllo u è la forza orizzontale sul carrello.

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{¨}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\\ \underset{}{\overset{¨}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& -0.1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -0.5& 30& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\\ 5\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]u\end{array}$$

Innanzitutto, caricare il modello stato-spazio sys nel workspace.

load('pendulumCartModel.mat','sys')

Poiché gli output sono x e $\theta$ ed è presente un solo input, utilizzare la regola di Bryson per determinare Q e R.

Q = [1,0,0,0;...
    0,0,0,0;...
    0,0,1,0;...
    0,0,0,0];
R = 1;

Trovare la matrice di guadagno K utilizzando lqr. Poiché N non è specificato, lqr imposta N su 0.

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R)

K = 1×4

   -1.0000   -1.7559   16.9145    3.2274

S = 4×4

    1.5346    1.2127   -3.2274   -0.6851
    1.2127    1.5321   -4.5626   -0.9640
   -3.2274   -4.5626   26.5487    5.2079
   -0.6851   -0.9640    5.2079    1.0311

P = 4×1 complex

  -0.8684 + 0.8523i
  -0.8684 - 0.8523i
  -5.4941 + 0.4564i
  -5.4941 - 0.4564i

Sebbene la regola di Bryson fornisca solitamente risultati soddisfacenti, spesso è solo il punto di partenza di una procedura di progettazione iterativa per tentativi ed errori finalizzata a sincronizzare la risposta del sistema a loop chiuso in base ai requisiti di progetto.

Controllo LQR utilizzando le matrici stato-spazio

aircraftPitchModel.mat contiene le matrici di stato-spazio di un aereo in cui l'input è l'angolo di deflessione dell'elevatore $\delta$ e l'output è l'angolo di beccheggio dell'aereo $\theta$.

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{\alpha }}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{q}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-0.313& 56.7& 0\\ -0.0139& -0.426& 0\\ 0& 56.7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.232\\ 0.0203\\ 0\end{array}\right]\left[\delta \right]\\ y=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[0\right]\left[\delta \right]\end{array}$$

Per un riferimento a gradino di 0,2 radianti, considera i seguenti criteri di progettazione:

• Tempo di sollevamento inferiore a 2 secondi

• Tempo di assestamento inferiore a 10 secondi

• Errore allo stato stazionario inferiore al 2%

Caricare i dati del modello nel workspace.

load('aircraftPitchModel.mat')

Definire la matrice ponderata stato-costo Q e la matrice ponderata di controllo R. In linea generale, è possibile utilizzare la regola di Bryson per definire le matrici ponderate iniziali Q e R. Per questo esempio, si consideri il vettore di output C con un fattore di scala di 2 per la matrice Q e scegliere R come 1. R è uno scalare poiché il sistema ha un solo input.

R = 1

R = 
1

Q1 = 2*C'*C

Q1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     2

Calcolare la matrice di guadagno utilizzando lqr.

[K1,S1,P1] = lqr(A,B,Q1,R);

Controllare la risposta al gradino a loop chiuso con la matrice di guadagno generata K1.

sys1 = ss(A-B*K1,B,C,D);
step(sys1)

Poiché questa risposta non soddisfa gli obiettivi di progettazione, aumentare il fattore di scala a 25, calcolare la matrice di guadagno K2 e verificare la risposta al gradino a loop chiuso per la matrice di guadagno K2.

Q2 = 25*C'*C

Q2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0    25

[K2,S2,P2] = lqr(A,B,Q2,R);
sys2 = ss(A-B*K2,B,C,D);
step(sys2)

Nel grafico della risposta al gradino a loop chiuso, il tempo di sollevamento, il tempo di assestamento e l'errore allo stato stazionario soddisfano gli obiettivi di progettazione.

Argomenti di input

sys — Modello di sistema dinamico

Oggetto del modello ss

Modello di sistema dinamico, specificato come un oggetto del modello ss.

A — Matrice di stato

Matrice n x n

Matrice di stato, specificata come matrice n x n, dove n è il numero degli stati.

B — Matrice input-stato

Matrice n x m

Matrice input-stato, specificata come matrice input-stato n x m, dove m è il numero di input.

Q — Matrice ponderata stato-costo

matrice

Matrice ponderata stato-costo, specificata come matrice n x n, dove n è il numero di stati. È possibile utilizzare la regola di Bryson per impostare i valori iniziali di Q dati da:

$$\begin{array}{l}{Q}_{i,i}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{states}\right)}^2},\text{ i}\in \left\{1,2,\mathrm{...},n\right\}\\ Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& Q_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & Q_{n,n}\end{array}\right]\end{array}$$

In questo caso, n è il numero di stati.

R — Matrice ponderata input-costo

scalare | matrice

Matrice ponderata input-costo, specificata come scalare o matrice della stessa grandezza di D'D. In questo caso, D è la matrice stato-spazio di alimentazione diretta. È possibile utilizzare la regola di Bryson per impostare i valori iniziali di R dati da:

$$\begin{array}{l}{R}_{j,j}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{inputs}\right)}^2},\text{ j}\in \left\{1,2,\mathrm{...},m\right\}\\ R=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& R_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & R_{m,m}\end{array}\right]\end{array}$$

In questo caso, m è il numero di input.

N — Matrice opzionale dei termini incrociati

0 (predefinito) | matrice

Matrice opzionale dei termini incrociati, specificata come matrice. Se N non è specificato, lqr imposta N su 0 per impostazione predefinita.

Argomenti di output

K — Guadagno ottimale

vettore riga

Guadagno ottimale del sistema a loop chiuso, restituito come vettore riga di grandezza n, dove n è il numero degli stati.

S — Soluzione dell'equazione algebrica di Riccati associata

matrice

Soluzione dell'equazione algebrica di Riccati associata, restituita come matrice n x n, dove n è il numero degli stati. In altre parole, S ha la stessa dimensione della matrice stato-spazio A. Per ulteriori informazioni, vedere icare e idare.

P — Poli del sistema a loop chiuso

vettore colonna

Poli del sistema a loop chiuso, restituiti come vettore colonna di grandezza n, dove n è il numero degli stati.

Limiti

I dati di input devono soddisfare le seguenti condizioni:

• La coppia (A,B) deve essere stabilizzabile.

• R deve essere positivo definito.

• $$\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]$$ deve essere positivo semi-definito (equivalentemente, $$Q-N{R}^{-1}{N}^T\ge 0$$).

• $$(Q-N{R}^{-1}{N}^T,A-B{R}^{-1}{N}^T)$$ non deve presentare alcuna modalità non osservabile sull'asse immaginario (o cerchio unitario a tempo discreto).

Suggerimenti

• lqr supporta modelli descrittori con non singolarità E. L'output S di lqr è la soluzione dell'equazione algebrica di Riccati per il modello stato-spazio esplicito equivalente:

  $$\frac{dx}{dt}=E^{-1}Ax+E^{-1}Bu$$

Algoritmi

Per i sistemi a tempo continuo, lqr calcola il controllo di feedback dello stato $$u=-Kx$$ che minimizza la funzione di costo quadratica

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu)dt}$$

soggetto alla dinamica del sistema $$\dot{x}=Ax+Bu$$.

Oltre al guadagno sul feedback dello stato K, lqr restituisce la soluzione S dell'equazione algebrica di Riccati associata

$$A^{T}S+SA-(SB+N)R^{-1}(B^{T}S+N^T)+Q=0$$

e i poli a loop chiuso $$P=eig\left(A-BK\right)$$. La matrice di guadagno K è derivata da S utilizzando

$$K=R^{-1}(B^{T}S+N^T).$$

Per i sistemi a tempo discreto, lqr calcola il controllo di feedback dello stato $$u_n=-K{x}_n$$ che minimizza

$$J={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\{x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\}}$$

soggetto alla dinamica del sistema $$x_{n+1}=A{x}_n+B{u}_n$$.

In qualsiasi caso, quando si omette la matrice dei termini incrociati N, lqr imposta N su 0.

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

icare | idare | dlqr | lqg | lqi | lqrd | lqry | lqgreg | lqgtrack

Argomenti

• Regulate Pressure in Drum Boiler