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Cosa sono i modelli stato-spazio?

Definizione dei modelli stato-spazio

I modelli stato-spazio sono modelli che utilizzano le variabili di stato per descrivere un sistema mediante un insieme di equazioni differenziali o di differenza del primo ordine, piuttosto che mediante una o più equazioni differenziali o di differenza dell'n-esimo ordine. Se l'insieme delle equazioni differenziali del primo ordine è lineare nelle variabili di stato e di input, il modello viene definito come un modello stato-spazio lineare.

Nota

In linea generale, la documentazione System Identification Toolbox™ definisce i modelli stato-spazio lineari semplicemente come modelli stato-spazio. È inoltre possibile identificare i modelli stato-spazio non lineari utilizzando gli oggetti grey-box e gli oggetti stato-spazio neurali. Per ulteriori informazioni, vedere Available Nonlinear Models.

La struttura del modello stato-spazio lineare rappresenta una buona scelta per eseguire una stima rapida, poiché richiede la specifica di un solo parametro, l'ordine del modello n. L'ordine del modello è un numero intero pari alla dimensione di x(t) e si riferisce al numero di input e di output ritardati utilizzati nell'equazione di differenza corrispondente, pur non dovendo necessariamente coincidere con tale numero. Le variabili di stato x(t) possono essere ricostruite dai dati misurati di input-output, ma non vengono misurate durante un esperimento.

Rappresentazione a tempo continuo

Spesso è più facile definire un modello stato-spazio parametrizzato a tempo continuo perché le leggi fisiche sono spesso descritte in termini di equazioni differenziali. A tempo continuo, la descrizione dello stato-spazio lineare assume la seguente forma:

$$\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Fx(t)+Gu(t)+\tilde{K}w(t)\\ y(t)=Hx(t)+Du(t)+w(t)\\ x(0)=x0\end{array}$$

Le matrici F, G, H e D contengono elementi con significato fisico, ad esempio le costanti materiali. x0 specifica gli stati iniziali.

Nota

$$\tilde{K}$$ = 0 restituisce la rappresentazione stato-spazio di un modello di errore in uscita. Per ulteriori informazioni, vedere What Are Polynomial Models?.

È possibile stimare un modello stato-spazio a tempo continuo utilizzando sia i dati nel dominio del tempo che quelli nel dominio della frequenza.

Rappresentazione a tempo discreto

La struttura del modello stato-spazio lineare a tempo discreto è spesso scritta nella forma delle innovazioni che descrive il rumore:

$$\begin{array}{l}x(kT+T)=Ax(kT)+Bu(kT)+Ke(kT)\\ y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)+e(kT)\\ x(0)=x0\end{array}$$

dove T è il tempo di campionamento, u(kT) è l'input all'istante temporale kT e y(kT) è l'output all'istante temporale kT.

Nota

K = 0 restituisce la rappresentazione stato-spazio di un modello di errore in uscita. Per ulteriori informazioni sui modelli di errore in uscita, vedere What Are Polynomial Models?.

I modelli stato-spazio a tempo discreto forniscono lo stesso tipo di relazione lineare di differenza tra gli input e gli output del modello lineare ARMAX, ma sono riorganizzati in modo tale che sia presente un solo ritardo nelle espressioni.

Non è possibile stimare un modello stato-spazio a tempo discreto utilizzando i dati nel dominio della frequenza a tempo continuo.

La forma delle innovazioni utilizza un'unica sorgente di rumore e(kT), anziché un rumore di processo e misurazione indipendente. Se si hanno conoscenze preliminari sul rumore di processo e di misurazione, è possibile utilizzare la stima lineare grey-box per identificare un modello stato-spazio con sorgenti di rumore indipendenti strutturate. Per ulteriori informazioni, vedere Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptions.

Relazione tra matrici di stato a tempo continuo e a tempo discreto

Le relazioni tra le matrici di stato-spazio a tempo discreto A, B, C, D e K e le matrici di stato-spazio a tempo continuo F, G, H, D e $$\tilde{K}$$ sono date per input costanti a tratti, come segue:

$$\begin{array}{l}A=e^{FT}\\ B={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{F\tau }Gd\tau }\\ C=H\end{array}$$

Queste relazioni presuppongono che l'input sia costante a tratti su intervalli di tempo $$kT\le t<(k+1)T$$.

La relazione esatta tra K e $$\tilde{K}$$ è complicata. Tuttavia, per brevi tempi di campionamento T, la seguente approssimazione si rivela efficace:

$$K={\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{F\tau }\tilde{K}d\tau }$$

Rappresentazione stato-spazio delle funzioni di trasferimento

Per i modelli lineari, la descrizione generale del modello è data da:

$$y=Gu+He$$

G è una funzione di trasferimento che porta l'input u all'output y. H è una funzione di trasferimento che descrive le proprietà del modello di rumore additivo di output.

Le relazioni tra le funzioni di trasferimento e le matrici di stato-spazio a tempo discreto sono date dalle seguenti equazioni:

$$\begin{array}{l}G(q)=C{(}^{q}B+D\\ H(q)=C{(}^{q}K+I_{ny}\end{array}$$

In questo caso, I_nx è la matrice di identità nx x nx, dove nx è il numero di stati. I_ny è la matrice di identità ny x ny, dove ny è la dimensione di y e e.

La rappresentazione stato-spazio nel caso a tempo continuo è simile.

Vedi anche

Argomenti

• Estimate State-Space Models in System Identification App
• Estimate State-Space Models at the Command Line
• Data Supported by State-Space Models
• Supported State-Space Parameterizations