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Trasformata wavelet continua inversa

La funzione icwt implementa la CWT inversa. L’utilizzo della icwt richiede che si ottenga la CWT dalla cwt.

Poiché la CWT è una trasformata ridondante, non esiste un modo univoco per definire l'inversa. La CWT inversa implementata nella Wavelet Toolbox™ utilizza la wavelet analitica di Morse e la normalizzazione L1.

La CWT inversa è presentata classicamente nella forma a doppio-integrale. Si supponga di avere una wavelet ψ con una trasformata di Fourier che soddisfi le condizioni di ammissibilità:

Cψ=|ψ(ω)|2|ω|dω<

Per le wavelet e le funzioni a energia finita che soddisfano la condizione di ammissibilità f(t), è possibile definire la CWT inversa come:

f(t)=1Cψab<f(t),ψa,b(t)>ψa,b(t)dbdaa

dove ψa,b(t)=1aψ(tba).

Per l'analisi di wavelet e funzioni che soddisfano le seguenti condizioni, esiste un'unica formula integrale per la CWT inversa. Le condizioni sono le seguenti:

  • La funzione analizzata f(t) è a valore reale e la wavelet di analisi ha una trasformata di Fourier a valore reale.

  • La funzione analizzata f(t) è a valore reale e la trasformata di Fourier della wavelet di analisi ha supporto solo sull'insieme delle frequenze non negative. Questa viene indicata come una wavelet analitica. Una funzione la cui trasformata di Fourier ha supporto solo sull'insieme delle frequenze non negative deve avere valore complesso.

Le condizioni precedenti limitano l'insieme delle wavelet analitiche possibili. Le wavelet supportate dalla cwt sono analitiche. Poiché la toolbox supporta sono l’analisi di funzioni a valore reale, la condizione a valore reale sulla funzione analizzata è sempre soddisfatta.

Per motivare la formula dell’integrale singolo, siano ψ1 e ψ2 due wavelet che soddisfano la seguente condizione di ammissibilità a due-wavelet:

|ψ1*(ω)||ψ2(ω)||ω|dω<

Definire la costante:

Cψ1,ψ2=ψ1*(ω)ψ2(ω)|ω|dω

La suddetta costante può essere a valore complesso. Siano f(t) e g(t) due funzioni di energia finita. Se la condizione di ammissibilità a due-wavelet è soddisfatta, vale la seguente uguaglianza:

Cψ1,ψ2<f,g>=<f,ψ1><g,ψ2>*dbdaa

dove < , > denota il prodotto interno, * denota il coniugato complesso, mentre la dipendenza di ψ1 e ψ2 dalla scala e dalla posizione è stata soppressa per comodità.

La chiave della formula integrale singola per la CWT inversa consiste nel riconoscere che la condizione di ammissibilità a due-wavelet può essere soddisfatta anche se una delle wavelet non è ammissibile. In altre parole, non è necessario che sia ψ1 sia ψ2 siano ammissibili separatamente. È inoltre possibile mitigare ulteriormente i requisiti consentendo che una delle funzioni e una delle wavelet siano distribuzioni. Lasciando prima che g(t) sia la funzione delta di Dirac (una distribuzione) e consentendo anche a ψ2 di essere una funzione delta di Dirac, è possibile ricavare la formula dell'integrale singolo per la CWT inversa

f(t)=2Re{1Cψ1,δ0<f(t),ψ1(t)>daa}

dove Re{ } denota la parte reale.

L'equazione precedente dimostra che è possibile ricostruire il segnale sommando i coefficienti CWT scalati su tutte le scale.

Sommando i coefficienti CWT scalati delle scale selezionate, si ottiene un'approssimazione del segnale originale. Questo è utile nelle situazioni in cui il fenomeno di interesse è localizzato in scala.

La icwt implementa una versione discretizzata dell'integrale di cui sopra.