Trasformata wavelet continua inversa

La funzione icwt implementa la CWT inversa. L’utilizzo della icwt richiede che si ottenga la CWT dalla cwt.

Poiché la CWT è una trasformata ridondante, non esiste un modo univoco per definire l'inversa. La CWT inversa implementata nella Wavelet Toolbox™ utilizza le wavelet analitiche e la normalizzazione L1.

La CWT inversa è presentata classicamente nella forma a doppio-integrale. Si supponga di avere una wavelet ψ con una trasformata di Fourier che soddisfi le condizioni di ammissibilità:

$$C_{\psi }={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{|\stackrel{\wedge }{\psi }(\omega ){|}^2}{\left|\omega \right|}}d\omega <\infty$$

Per le wavelet e le funzioni a energia finita che soddisfano la condizione di ammissibilità f(t), è possibile definire la CWT inversa come:

$$f(t)=\frac{1}{C_{\psi }}{\displaystyle {\int }_a{\displaystyle {\int }_b<}}f(t),{\psi }_{a,b}(t)>{\psi }_{a,b}(t)db\frac{da}{a}$$

dove $${\psi }_{a,b}(t)=\frac{1}{a}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)$$.

Per l'analisi di wavelet e funzioni che soddisfano la seguente condizione, esiste un'unica formula integrale per la CWT inversa.

• La funzione analizzata f(t) ha energia finita e la trasformata di Fourier della wavelet di analisi ha supporto solo sull'insieme delle frequenze non negative. Questa viene indicata come una wavelet analitica. Una funzione la cui trasformata di Fourier ha supporto solo sull'insieme delle frequenze non negative deve avere valore complesso.

Le wavelet supportate dalla cwt sono analitiche.

Per motivare la formula dell’integrale singolo, siano ψ₁ e ψ₂ due wavelet che soddisfano la seguente condizione di ammissibilità a due-wavelet:

$${\displaystyle \int \frac{|\stackrel{\wedge }{{\psi }_1^{*}}(\omega )||\stackrel{\wedge }{{\psi }_2}(\omega )|}{\left|\omega \right|}}d\omega <\infty$$

Definire la costante:

$$C_{{\psi }_1,{\psi }_2}={\displaystyle \int \frac{\stackrel{\wedge }{{\psi }_1^{*}}(\omega )\stackrel{\wedge }{{\psi }_2}(\omega )}{\left|\omega \right|}}d\omega$$

La suddetta costante può essere a valore complesso. Siano f(t) e g(t) due funzioni di energia finita. Se la condizione di ammissibilità a due-wavelet è soddisfatta, vale la seguente uguaglianza:

$$C_{{\psi }_1,{\psi }_2}<f,g>={\displaystyle \int {\displaystyle \int <}}f,{\psi }_1><g,{\psi }_2{>}^{*}db\frac{da}{a}$$

dove < , > denota il prodotto interno, * denota il coniugato complesso, mentre la dipendenza di ψ₁ e ψ₂ dalla scala e dalla posizione è stata soppressa per comodità.

La chiave della formula integrale singola per la CWT inversa consiste nel riconoscere che la condizione di ammissibilità a due-wavelet può essere soddisfatta anche se una delle wavelet non è ammissibile. In altre parole, non è necessario che sia ψ₁ sia ψ₂ siano ammissibili separatamente. È inoltre possibile mitigare ulteriormente i requisiti consentendo che una delle funzioni e una delle wavelet siano distribuzioni. Lasciando prima che g(t) sia la funzione delta di Dirac (una distribuzione) e consentendo anche a ψ₂ di essere una funzione delta di Dirac, è possibile ricavare la formula dell'integrale singolo per la CWT inversa.

• Quando f(t) ha valore reale,

  $$f(t)=2Re\{\frac{1}{C_{{\psi }_1,\delta }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }<}f(t),{\psi }_1(t)>\frac{da}{a}\}$$

  dove Re{ } denota la parte reale.

• Quando f(t) ha valore complesso,

  $$f(t)=\frac{2}{C_{{\psi }_1,\delta }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }<}f(t),{\psi }_1(t)>\frac{da}{a}.$$

Le equazioni precedenti dimostrano che è possibile ricostruire il segnale sommando i coefficienti CWT scalati su tutte le scale.

Sommando i coefficienti CWT scalati delle scale selezionate, si ottiene un'approssimazione del segnale originale. Questo è utile nelle situazioni in cui il fenomeno di interesse è localizzato in scala.

La funzione icwt implementa una versione discretizzata degli integrali di cui sopra. È inoltre possibile utilizzare i filtri di analisi estratti da un oggetto cwtfilterbank per invertire la CWT. In questo caso, icwt utilizza i filtri di sintesi approssimati, o dual frame, nell'inversione.