cumtrapz
Integrazione numerica trapezoidale cumulativa
Descrizione
Q = cumtrapz( calcola l'integrale cumulativo approssimato di Y)Y tramite il metodo trapezoidale con spaziatura unitaria. La grandezza di Y determina la dimensione lungo cui integrare:
Se
Yè un vettore,cumtrapz(Y)è l'integrale cumulativo diY.Se
Yè un vettore,cumtrapz(Y)è l'integrale cumulativo di ciascuna colonna.Se
Yè un array multidimensionale,cumtrapz(Y)integra sulla prima dimensione la cui grandezza non è uguale a 1.
Q = cumtrapz( integra X,Y)Y rispetto alle coordinate o alla spaziatura scalare specificata da X.
Se
Xè un vettore di coordinate,length(X)deve essere uguale alla grandezza della prima dimensione diYla cui grandezza non è uguale 1.Se
Xè una spaziatura scalare,cumtrapz(X,Y)è equivalente aX*cumtrapz(Y).
Q = cumtrapz(___, integra lungo la dimensione dim)dim utilizzando una qualsiasi delle sintassi precedenti. È necessario specificare Y, mentre la specifica di X è opzionale. Se si specifica X, può essere uno scalare o un vettore di lunghezza pari a size(Y,dim). Ad esempio, se Y è una matrice, cumtrapz(X,Y,2) integra ciascuna riga di Y in modo cumulativo.
Esempi
Calcolare l'integrale cumulativo di un vettore in cui la spaziatura tra i punti di dati è pari a 1.
Creare un vettore numerico di dati.
Y = [1 4 9 16 25];
Y contiene i valori delle funzioni per nel dominio [1 5].
Utilizzare cumtrapz per integrare i dati con la spaziatura unitaria.
Q = cumtrapz(Y)
Q = 1×5
0 2.5000 9.0000 21.5000 42.0000
Questa integrazione approssimativa produce un valore finale di 42. In questo caso, la risposta esatta è leggermente inferiore, . La funzione cumtrapz sovrastima il valore dell'integrale perché f(x) è concava verso l'alto.
Calcolare l'integrale cumulativo di un vettore in cui la spaziatura tra i punti di dati è uniforme, ma non uguale a 1.
Creare un vettore dominio.
X = 0:pi/5:pi;
Calcolare il seno di X.
Y = sin(X');
Integrare Y in modo cumulativo utilizzando cumtrapz. Quando la spaziatura tra i punti è costante, ma non uguale a 1, un'alternativa alla creazione di un vettore per X è quella di specificare il valore scalare della spaziatura. In questo caso, cumtrapz(pi/5,Y) equivale a pi/5*cumtrapz(Y).
Q = cumtrapz(X,Y)
Q = 6×1
0
0.1847
0.6681
1.2657
1.7491
1.9338
Integrare in modo cumulativo le righe di una matrice in cui i dati hanno una spaziatura non uniforme.
Creare un vettore di coordinate x e una matrice di osservazioni che avvengono a intervalli irregolari. Le righe di Y rappresentano i dati di velocità rilevati ai tempi contenuti in X, per tre prove diverse.
X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2 7.7 9.6 13.2;
4.8 7.0 10.5 14.5;
4.9 6.5 10.2 13.8];Utilizzare cumtrapz per integrare in modo cumulativo ciascuna riga in modo indipendente e trovare la distanza totale percorsa in ogni prova. Poiché i dati non vengono valutati a intervalli costanti, specificare X per indicare la spaziatura tra i punti di dati. Specificare dim = 2 poiché i dati si trovano nelle righe di Y.
Q1 = cumtrapz(X,Y,2)
Q1 = 3×4
0 9.6750 48.6000 82.8000
0 8.8500 48.2250 85.7250
0 8.5500 46.1250 82.1250
Il risultato è una matrice della stessa grandezza di Y con l'integrale cumulativo di ciascuna riga.
Eseguire integrazioni annidate nelle direzioni x e y. Tracciare i risultati per visualizzare il valore integrale cumulativo in entrambe le direzioni.
Creare una griglia di valori per il dominio.
x = -2:0.1:2; y = -2:0.2:2; [X,Y] = meshgrid(x,y);
Calcolare la funzione sulla griglia.
F = 10*X.^2 + 20*Y.^2;
cumtrapz integra i dati numerici piuttosto che le espressioni funzionali; quindi, in generale, non è necessario conoscere la funzione sottostante per utilizzare cumtrapz su una matrice di dati. Nei casi in cui l'espressione funzionale è nota, è possibile invece utilizzare integral, integral2 o integral3.
Utilizzare cumtrapz per approssimare l'integrale doppio
Per eseguire questa doppia integrazione, utilizzare le chiamate di funzione annidate a cumtrapz. La chiamata interna integra prima le righe dei dati, quindi quella esterna integra le colonne.
I = cumtrapz(y,cumtrapz(x,F,2));
Tracciare la superficie che rappresenta la funzione originale e la superficie che rappresenta l'integrazione cumulativa. Ciascun punto sulla superficie dell'integrazione cumulativa fornisce un valore intermedio dell'integrale doppio. L'ultimo valore in I fornisce l'approssimazione complessiva dell'integrale doppio I(end) = 642.4. Contrassegnare questo punto del grafico con una stella rossa.
surf(X,Y,F,'EdgeColor','none') xlabel('X') ylabel('Y') hold on surf(X,Y,I,'FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','none') plot3(X(end),Y(end),I(end),'r*') hold off
Argomenti di input
Dati numerici, specificati come vettore, matrice o array multidimensionale. Per impostazione predefinita, cumtrapz integra lungo la prima dimensione di Y la cui grandezza non è uguale a 1.
Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì
Spaziatura tra i punti, specificata come 1 (predefinita), spaziatura scalare uniforme o vettore di coordinate.
Se
Xè uno scalare, allora specifica una spaziatura uniforme tra i punti di dati ecumtrapz(X,Y)è equivalente aX*cumtrapz(Y).Se
Xè un vettore, allora specifica le coordinate x per i punti di dati elength(X)deve avere la stessa grandezza della dimensione di integrazione inY.
Tipi di dati: single | double
Dimensione lungo la quale operare, specificata come scalare intero positivo. Se non si specifica la dimensione, per impostazione predefinita si considera la prima dimensione dell'array la cui grandezza non è uguale a 1.
Considerare un array di input a due dimensioni, Y:
cumtrapz(Y,1)opera sugli elementi successivi nelle colonne diY.
cumtrapz(Y,2)opera sugli elementi successivi nelle righe diY.
Se dim è maggiore di ndims(Y), cumtrapz restituisce un array di zeri della stessa grandezza di Y.
Suggerimenti
Utilizzare
trapzecumtrapzper eseguire integrazioni numeriche su insiemi di dati discreti. Utilizzare inveceintegral,integral2ointegral3se è disponibile un'espressione funzionale per i dati.trapzriduce a 1 la grandezza della dimensione su cui opera e restituisce solo il valore di integrazione finale.cumtrapzrestituisce inoltre i valori di integrazione intermedi, conservando la grandezza della dimensione su cui opera.
