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trapz

Integrazione numerica trapezoidale

Sintassi

Q = trapz(Y)

Q = trapz(X,Y)

Q = trapz(___,dim)

Descrizione

Q = trapz(Y) calcola l'integrale approssimato di Y tramite il metodo trapezoidale con spaziatura unitaria. La grandezza di Y determina la dimensione lungo cui integrare:

• Se Y è un vettore, trapz(Y) è l'integrale approssimato di Y.

• Se Y è una matrice, trapz(Y) integra su ciascuna colonna e restituisce un vettore riga dei valori di integrazione.

• Se Y è un array multidimensionale, trapz(Y) integra sulla prima dimensione la cui grandezza non è uguale a 1. La grandezza di questa dimensione diventa 1, mentre le grandezze delle altre dimensioni rimangono invariate.

Q = trapz(X,Y) integra Y rispetto alle coordinate o alla spaziatura scalare specificata da X.

• Se X è un vettore di coordinate, length(X) deve essere uguale alla grandezza della prima dimensione di Y la cui grandezza non è uguale 1.

• Se X è una spaziatura scalare, trapz(X,Y) è equivalente a X*trapz(Y).

Q = trapz(___,dim) integra lungo la dimensione dim utilizzando una qualsiasi delle sintassi precedenti. È necessario specificare Y, mentre la specifica di X è opzionale. Se si specifica X, può essere uno scalare o un vettore di lunghezza pari a size(Y,dim). Ad esempio, se Y è una matrice, trapz(X,Y,2) integra ciascuna riga di Y.

Esempi

Integrazione di un vettore di dati con spaziatura unitaria

Calcolare l'integrale di un vettore in cui la spaziatura tra i punti di dati è pari a 1.

Creare un vettore numerico di dati.

Y = [1 4 9 16 25];

Y contiene i valori delle funzioni per $$f(x)=x^2$$ nel dominio [1, 5].

Utilizzare trapz per integrare i dati con la spaziatura unitaria.

Q = trapz(Y)

Q = 
42

Questa integrazione approssimativa produce un valore di 42. In questo caso, la risposta esatta è leggermente inferiore, $$41\frac{1}{3}$$. La funzione trapz sovrastima il valore dell'integrale perché f(x) è concava verso l'alto.

Integrazione di un vettore di dati con spaziatura non unitaria

Calcolare l'integrale di un vettore in cui la spaziatura tra i punti di dati è uniforme, ma non uguale a 1.

Creare un vettore dominio.

X = 0:pi/100:pi;

Calcolare il seno di X.

Y = sin(X);

Integrare Y utilizzando trapz.

Q = trapz(X,Y)

Q = 
1.9998

Quando la spaziatura tra i punti è costante, ma non uguale a 1, un'alternativa alla creazione di un vettore per X è quella di specificare il valore scalare della spaziatura. In questo caso, trapz(pi/100,Y) equivale a pi/100*trapz(Y).

Integrazione di una matrice con spaziatura non uniforme

Integrare le righe di una matrice in cui i dati hanno una spaziatura non uniforme.

Creare un vettore di coordinate x e una matrice di osservazioni che avvengono a intervalli irregolari. Le righe di Y rappresentano i dati di velocità rilevati ai tempi contenuti in X, per tre prove diverse.

X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2   7.7   9.6   13.2;
     4.8   7.0  10.5   14.5;
     4.9   6.5  10.2   13.8];

Utilizzare trapz per integrare ciascuna riga in modo indipendente e trovare la distanza totale percorsa in ogni prova. Poiché i dati non vengono valutati a intervalli costanti, specificare X per indicare la spaziatura tra i punti di dati. Specificare dim = 2 poiché i dati si trovano nelle righe di Y.

Q1 = trapz(X,Y,2)

Q1 = 3×1

   82.8000
   85.7250
   82.1250

Il risultato è un vettore colonna dei valori di integrazione, uno per ogni riga di Y.

Integrazioni numeriche multiple

Creare una griglia di valori del dominio.

x = -3:.1:3; 
y = -5:.1:5; 
[X,Y] = meshgrid(x,y);

Calcolare la funzione $$f(x,y)=x^2+y^2$$ sulla griglia.

F = X.^2 + Y.^2;

trapz integra i dati numerici piuttosto che le espressioni funzionali; quindi, in generale, non è necessario conoscere l'espressione per utilizzare trapz su una matrice di dati. Nei casi in cui l'espressione funzionale è nota, è possibile invece utilizzare integral, integral2 o integral3.

Utilizzare trapz per approssimare l'integrale doppio

$$I={\int }_{-5}^5{\int }_{-3}^3(x^2+y^2)dxdy$$

Per eseguire integrazioni doppie o triple su un array di dati numerici, annidare le chiamate di funzione a trapz.

I = trapz(y,trapz(x,F,2))

I = 
680.2000

trapz esegue prima l'integrazione su x, producendo un vettore colonna. Poi, l'integrazione su y riduce il vettore colonna a uno scalare singolo. trapz sovrastima leggermente la risposta esatta di 680 perché f(x,y) è concavo verso l'alto.

Argomenti di input

Y — Dati numerici

vettore | matrice | array multidimensionale

Dati numerici, specificati come vettore, matrice o array multidimensionale. Per impostazione predefinita, trapz integra lungo la prima dimensione di Y la cui grandezza non è uguale a 1.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

X — Spaziatura tra i punti

1 (predefinito) | spaziatura scalare uniforme | vettore di coordinate

Spaziatura tra i punti, specificata come 1 (predefinita), spaziatura scalare uniforme o vettore di coordinate.

• Se X è uno scalare, allora specifica una spaziatura uniforme tra i punti di dati e trapz(X,Y) è equivalente a X*trapz(Y).

• Se X è un vettore, allora specifica le coordinate x per i punti di dati e length(X) deve avere la stessa grandezza della dimensione di integrazione in Y.

Tipi di dati: single | double

dim — Dimensione lungo la quale operare

scalare intero positivo

Dimensione lungo la quale operare, specificata come scalare intero positivo. Se non si specifica la dimensione, per impostazione predefinita si considera la prima dimensione dell'array la cui grandezza non è uguale a 1.

Considerare un array di input a due dimensioni, Y:

• trapz(Y,1) opera sugli elementi successivi nelle colonne di Y e restituisce un vettore riga.

  

• trapz(Y,2) opera sugli elementi successivi nelle righe di Y e restituisce un vettore colonna.

  

Se dim è maggiore di ndims(Y), trapz restituisce un array di zeri della stessa grandezza di Y.

Ulteriori informazioni

Metodo trapezoidale

trapz esegue l'integrazione numerica mediante il metodo trapezoidale. Questo metodo approssima l'integrazione su un intervallo suddividendo l'area in trapezi con aree più facilmente calcolabili. Ad esempio, questa è un'integrazione trapezoidale della funzione seno utilizzando otto trapezi equidistanti:

Per un'integrazione con N+1 punti uniformemente distanziati, l'approssimazione è

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx }\frac{b-a}{2N}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right)}\\ =\frac{b-a}{2N}\left[f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+\mathrm{...}+2f\left(x_N\right)+f\left(x_{N+1}\right)\right],\end{array}$$

dove la spaziatura tra ciascun punto è pari al valore scalare $$\frac{b-a}{N}$$. Per impostazione predefinita, MATLAB^® utilizza una spaziatura pari a 1.

Se la spaziatura tra i punti N+1 non è costante, la formula si generalizza a

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(x_{n+1}-x_n\right)}}\left[f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right],$$

dove $$a=x_1<x_2<\mathrm{...}<x_N<x_{N+1}=b$$ e $$\left(x_{n+1}-x_n\right)$$ è la spaziatura tra ciascuna coppia di punti consecutivi.

Suggerimenti

• Utilizzare trapz e cumtrapz per eseguire integrazioni numeriche su insiemi di dati discreti. Utilizzare invece integral, integral2 o integral3 se è disponibile un'espressione funzionale per i dati.

• trapz riduce a 1 la grandezza della dimensione su cui opera e restituisce solo il valore di integrazione finale. cumtrapz restituisce inoltre i valori di integrazione intermedi, conservando la grandezza della dimensione su cui opera.

Funzionalità estese

Generazione di codice C/C++

Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Note su utilizzo e limitazioni:

• Se si fornisce dim, deve essere una costante.

• Vedere Incompatibility with MATLAB for Default Dimension Selection (MATLAB Coder).

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Questa funzione supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Array GPU

Accelera il codice mediante esecuzione su un’unità di elaborazione grafica (GPU) con Parallel Computing Toolbox™.

La funzione trapz supporta completamente gli array di GPU. Per eseguire la funzione su una GPU, specificare i dati di input come un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Array distribuiti

Partiziona array di grandi dimensioni nella memoria combinata del cluster con Parallel Computing Toolbox™.

Questa funzione supporta completamente gli array distribuiti. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

cumsum | cumtrapz | integral | integral2 | integral3

Argomenti

• Integrazione di dati numerici