La traduzione di questa pagina non è aggiornata. Fai clic qui per vedere l'ultima versione in inglese.

inv

Inverso delle matrici

Sintassi

Y = inv(X)

Descrizione

Y = inv(X) l'inverso della matrice quadrata X.

• X^(-1) equivale a inv(X).

• x = A\b è calcolato in modo diverso rispetto a x = inv(A)*b ed è consigliato per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Esempi

Matrice inversa

Calcolare l'inverso di una matrice 3x3.

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]

X = 3×3

     1     0     2
    -1     5     0
     0     3    -9

Y = inv(X)

Y = 3×3

    0.8824   -0.1176    0.1961
    0.1765    0.1765    0.0392
    0.0588    0.0588   -0.0980

Controllare i risultati. Nel caso ideale, Y*X produce la matrice di identità. Poiché inv esegue l'inversione della matrice utilizzando calcoli in virgola mobile, in pratica Y*X si trova vicino alla matrice di identità eye(size(X)), ma non è esattamente uguale.

Y*X

ans = 3×3

    1.0000    0.0000   -0.0000
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000

Risoluzione di sistema lineare

Esaminare il motivo per cui la risoluzione di un sistema lineare invertendo la matrice con inv(A)*b è meno appropriato del risolverla direttamente utilizzando l'operatore barra rovesciata x = A\b.

Creare una matrice casuale A di ordine 500 costruita in modo che il suo numero di condizione cond(A) sia 1e10 e la sua norma norm(A) sia 1. La soluzione esatta x è un vettore casuale di lunghezza 500 e il lato destro è b = A*x. Il sistema di equazioni lineari è quindi mal condizionato, ma coerente.

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

Risolvere il sistema lineare A*x = b invertendo la matrice del coefficiente A. Utilizzare tic e toc per ottenere informazioni sulla temporizzazione.

tic
y = inv(A)*b; 
t = toc

t = 
0.0216

Trovare l'errore assoluto e l’errore residuo del calcolo.

err_inv = norm(y-x)

err_inv = 
4.8457e-06

res_inv = norm(A*y-b)

res_inv = 
4.8952e-07

Ora, risolvere lo stesso sistema lineare utilizzando l'operatore barra rovesciata \.

tic
z = A\b;
t1 = toc

t1 = 
0.0056

err_bs = norm(z-x)

err_bs = 
3.7705e-06

res_bs = norm(A*z-b)

res_bs = 
3.7080e-15

Il calcolo con la barra rovesciata è più rapido e presenta un errore residuo inferiore di diversi ordini di magnitudine. Il fatto che err_inv e err_bs siano entrambi dell'ordine di 1e-6 riflette semplicemente il numero di condizione della matrice.

Il comportamento di questo esempio è un comportamento tipico. L'utilizzo di A\b al posto di inv(A)*b è da due a tre volte più rapido e produce residui di una precisione pari a quella della macchina rispetto alla magnitudine dei dati.

Argomenti di input

X — Matrice di input

matrice quadrata

Matrice di input, specificata come matrice quadrata. Se X è scalato in maniera non appropriata o è quasi singolare, il calcolo inv perde la precisione numerica. Utilizzare rcond o cond per controllare il numero di condizioni della matrice.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

Ulteriori informazioni

Inverso delle matrici

Una matrice X è invertibile se esiste una matrice Y della stessa dimensione, tale che $$XY=YX=I_n$$, dove $$I_n$$ è la matrice di identità n x n. La matrice Y è detta inversa di X.

Una matrice priva di inversa è singolare. Una matrice quadrata è singolare solo quando il suo determinante è esattamente zero.

Suggerimenti

• Raramente è necessario formare l'inverso esplicito di una matrice. Un utilizzo improprio frequente di inv si verifica quando si risolve il sistema di equazioni lineari Ax = b. Un modo per risolvere l'equazione è con x = inv(A)*b. Un modo migliore, sia dal punto di vista del tempo di esecuzione che della precisione numerica, è quello di utilizzare l'operatore barra rovesciata della matrice x = A\b. In questo modo si ottiene la soluzione utilizzando l'eliminazione gaussiana, senza formare esplicitamente l'inversa. Per maggiori informazioni vedere mldivide.

Algoritmi

inv esegue una decomposizione LU della matrice di input (o una decomposizione LDL se la matrice di input è hermitiana). Utilizza quindi i risultati per formare un sistema lineare la cui soluzione è data dall'inverso della matrice inv(X). Per gli input sparsi, inv(X) crea una matrice sparsa di identità e utilizza la barra rovesciata, X\speye(size(X)).

Funzionalità estese

Generazione di codice C/C++

Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Note su utilizzo e limitazioni:

• Gli input della matrice singolare possono produrre valori non finiti che differiscono dai risultati di MATLAB^®.

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Questa funzione supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Array GPU

Accelera il codice mediante esecuzione su un’unità di elaborazione grafica (GPU) con Parallel Computing Toolbox™.

• X non deve essere sparsa.

• La funzione MATLAB inv stampa un avviso se X è scalato in maniera non appropriata o è quasi singolare. gpuArray inv non è in grado di verificare questa condizione. Intervenite per evitare questa condizione.

Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Array distribuiti

Partiziona array di grandi dimensioni nella memoria combinata del cluster con Parallel Computing Toolbox™.

Questa funzione supporta completamente gli array distribuiti. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

R2022a: Prestazioni migliori nell'inversione di matrici triangolari di grandi dimensioni

La funzione inv mostra prestazioni migliori quando opera su matrici triangolari di grandi dimensioni.

Ad esempio, l'inversione di una matrice triangolare superiore di 5.000x5.000 è circa 3,7 volte più veloce rispetto alla release precedente.

function timingInv
rng default
A = randn(5e3);
[~,R] = lu(A);

tic
Y = inv(R); 
toc
end

I tempi di esecuzione approssimativi sono:

R2021b: 1,1 s

R2022a: 0,3 s

Il codice è stato cronometrato su un sistema di test Windows^® 10, Intel^® Xeon^® CPU W-2133 @ 3.60 GHz chiamando la funzione timingInv.

Vedi anche

det | lu | rref | mldivide