Oscillatore di Van der Pol

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Questo esempio mostra come modellare l'equazione differenziale di Van der Pol (VDP) del secondo ordine in Simulink®. In dinamica, l'oscillatore VDP non è conservativo e ha uno smorzamento non lineare. Ad ampiezze elevate, l'oscillatore dissipa energia. A basse ampiezze, l'oscillatore genera energia. L'oscillatore è dato da questa equazione differenziale del secondo ordine:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} - \mu\left( 1- x^2 \right) \frac{dx}{dt} + x = 0$$

dove:

  • x è la posizione in funzione del tempo.

  • $\mu$ è lo smorzamento.

Per esprimere l'equazione differenziale del secondo ordine nel formato stato-spazio, definire ${x}_1 = x$. Questa rappresentazione stato-spazio è inclusa nel modello come ${x}_1$ e ${x}_2$.

$${x}_1^{'}={x}_2$$

$${x}_2^{'}=-{x}_1 + \mu\left( 1- {{x}_1}^2 \right){x}_2$$

dove:

  • ${x}_1^{'} = \frac{dx}{dt}$

  • ${x}_2^{'} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

L'oscillatore VDP è utilizzato nelle scienze fisiche e biologiche, compresi i circuiti elettrici.

open_system('vdp');

Simulazione con Mu = 1

Quando $\mu = 1$, l'oscillatore VDP presenta uno smorzamento non lineare.

set_param('vdp/Mu','Gain','1')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

Simulazione con Mu = 0

Quando $\mu = 0$, l'oscillatore VDP non presenta alcun smorzamento. L'energia è conservata in questo semplice oscillatore armonico. L'equazione diventa:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + x = 0$$

set_param('vdp/Mu','Gain','0')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

Vedi anche

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Riferimenti

[1] Cartwright, M. L. "Balthazar Van Der Pol." Journal of the London Mathematical Society. Wiley. s1 35 (July 1960): 367–376. https://doi:10.1112/jlms/s1-35.3.367.

[2] Hirsch, Morris W., Stephen Smale, Robert L. Devaney, and Morris W. Hirsch. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 2nd Ed. San Diego: Academic Press, 2004.