Riscrittura della storia della geometria con l'elaborazione delle immagini e l'arte antica

Papaodysseus ha una storia di utilizzo dell'informatica e MATLAB^® per risolvere problemi archeologici. Inizialmente, Papaodysseus collaborò con l'illustre archeologo Professor Steven Tracy, allora direttore della American School of Classical Studies di Atene, per classificare le iscrizioni in base al loro litioxo (scultore in pietra), cioè lo scrittore che ha inciso un'iscrizione. Tale classificazione è di fondamentale importanza per la storia, dato che un litioxo non datava né firmava la sua opera, rendendo quindi praticamente impossibile la classificazione temporale di un'iscrizione. Tuttavia, quando si raccoglie l'intera opera di un litioxus, di norma è sufficiente un attento esame dell'insieme per ottenerne una data. Così, Papaodysseus, utilizzando MATLAB e la matematica, è riuscito a classificare più di trenta iscrizioni in nove scrittori, con il 100% di successo.

“Mi è venuto in mente che potevamo farlo con la matematica moderna, l'informatica e MATLAB,” afferma Papaodysseus. Lui e il suo team, insieme al professore di studi classici Christopher Blackwell, hanno dimostrato che entrambi i documenti erano stati scritti dalla stessa mano. Il parlamento greco ha addirittura fatto ricorso alle sue capacità di investigazione per identificare gli autori di altri documenti portati alla luce dagli storici.

“Con MATLAB possiamo aiutare gli archeologi a creare una storia più completa e accurata dei reperti antichi,” afferma Papaodysseus.

La storia dell'affresco inizia sotto Akrotiri, una cittadina nella parte sud-occidentale di Santorini, un'isola greca nel Mar Egeo, nel Mediterraneo. Intorno al 1620 a.C., durante la civiltà minoica, una massiccia eruzione vulcanica seppellì l'isola sotto strati di pomice e cenere spessi fino a 20 metri. Ciò ha dato vita a un ricco tesoro di reperti che la roccia vulcanica ha conservato per millenni. Tra le scoperte effettuate durante gli scavi c'erano resti frantumati di elaborate pitture murali o affreschi.

Verso la fine degli anni Novanta, Papaodysseus iniziò a utilizzare MATLAB per analizzare antichi affreschi e sviluppare metodi per ricomporre centinaia di frammenti di dipinti murali, incluso il riassemblaggio in 2D e 3D. Una notte, mentre cercava di abbinare dei pezzi di affreschi sul suo computer, vide qualcosa di inaspettato sul monitor. L'immagine era quella di una ragazza che aveva visto in un altro affresco, “The Crocus Gathering.” In questo affresco, la ragazza è china verso una pianta, ma con quest'ultima immagine sullo schermo, Papaodysseus notò che la curva della sua schiena sembrava un'iperbole.

C'era un problema: le prime descrizioni delle iperboli e di altre sezioni coniche provenivano da importanti pensatori dell'era classica, come Menecmo ed Euclide, vissuti intorno al 350-250 a.C., oltre 1.300 anni dopo la realizzazione dell'affresco. L’idea era, molto probabilmente, “folle”, ricorda Papaodysseus.

Papaodysseus voleva vedere dove lo avrebbe portato questa “schiena curva a iperbole”. Dopo la sua fatale osservazione, Papaodysseus trascorse i mesi successivi a creare un metodo in MATLAB per testare la sua ipotesi. Sviluppò un algoritmo di segmentazione delle immagini in grado di isolare i singoli contorni delle immagini in una catena di singoli pixel. I contorni sono curve o linee uniformi e continue, quindi un dato dipinto è composto da molti contorni singoli.

“Ci siamo occupati di forme che o compaiono in natura o che sono state comprese e ampiamente studiate solo a partire dai grandi matematici dell'era classica, come Archimede ed Euclide”, afferma Papaodysseus. “A quel tempo non credevo che i Minoici, gli antichi antenati di Euclide e Archimede, avrebbero capito o lavorato con queste forme.”

Intuitivamente, l'idea che questi artisti utilizzassero guide o stencil per creare queste forme aveva senso. A quei tempi, gli artisti che dipingevano su un muro dovevano avere precisione e velocità per completare le sezioni sull'intonaco bagnato prima che si asciugasse. Considerati i contorni lisci e stabili dei dipinti finiti, sembra più probabile che gli artisti abbiano utilizzato una sorta di guida per dipingere su questa superficie ruvida.

Utilizzando l'immagine della schiena curva della ragazza in “The Crocus Gathering,” Papaodysseus e il suo team hanno tracciato curve con parametri variabili e applicato schemi algoritmici in grado di identificare e confrontare i contorni disegnati con le potenziali forme dello stencil utilizzando MATLAB e i suoi algoritmi di minimizzazione delle funzioni.

“In MATLAB è facile tracciare un'iperbole. “Utilizzando due funzioni di Image Processing Toolbox™, è possibile sovrapporre l'iperbole a un’immagine”, afferma Athanasios-Rafail Mamatsis, ricercatore del team di Papaodysseus.

Applicando queste funzioni all'immagine della ragazza in “The Crocus Gathering,” è stato confermato che la sua schiena curva si allineava con una vera iperbole e che nessun'altra possibile forma o stencil corrispondeva (vedere Figura 1). Come ulteriore prova, quando provò questo metodo su un'altra ragazza nello stesso affresco, trovò contorni corrispondenti alla stessa iperbole (vedi Figura 2).

Con il passare degli anni, gli studenti di dottorato che lavoravano al progetto originale sono diventati colleghi e la squadra ha ulteriormente rielaborato e migliorato gli algoritmi originali di Papaodysseus per esplorare nuove idee. “In particolare, dopo la scoperta dell'iperbole, non abbiamo avuto esitazioni nel verificare se i Minoici avessero utilizzato spirali lineari per gli affreschi”, afferma Papaodysseus.

Il loro primo istinto fu quello di testare forme a spirale semplici o comunemente presenti in natura. I principali candidati per l'analisi erano le spirali esponenziali che si formano con estrema precisione nelle conchiglie o la spirale creata srotolando uno spago avvolto attorno a un piolo. Sembrava meno probabile che gli artisti si fossero imbattuti nella spirale lineare, più difficile da realizzare, nota anche come spirale di Archimede. Tuttavia, quando hanno effettuato i loro confronti, i vortici che decoravano gli affreschi erano, in effetti, queste strane spirali (vedi Figura 3).

Dopo aver analizzato un numero sempre maggiore di dipinti murali, il gruppo di Papaodysseus ha trovato costantemente corrispondenze per sei stencil specifici (quattro iperboli e due spirali lineari) nei contorni delle immagini. Esaminando gli affreschi, hanno perfino individuato piccoli fori nell'intonaco, dove gli artisti potrebbero aver fissato le loro guide. A ulteriore supporto dell'idea che gli artisti dell'età del bronzo utilizzassero gli stencil, i contorni dei dipinti solitamente differiscono dalle guide generate al computer di meno di 0,3 millimetri ma mai di più di 0,8 millimetri. “Ciò esclude la casualità,” afferma Papaodysseus. È improbabile che corrispondenze così vicine siano una coincidenza, soprattutto per lunghezze di stencil che superano i 14 cm, 15 cm, 17 cm, 22 cm, ecc.

Un'ulteriore prova del fatto che gli artisti, o almeno i creatori di stencil, avessero una conoscenza geometrica avanzata, deriva dai possibili modi in cui crearono gli stencil dell'iperbole e della spirale. Consideriamo un'iperbole: Non si tratta semplicemente di una linea curva che coincide con la forma di una schiena curva. Tutti i punti sulla curva hanno una differenza costante di distanza da due punti fissi sullo stesso piano, che ora sono chiamati focus. I ricercatori suggeriscono che gli artisti avrebbero potuto costruire tali curve disegnando due cerchi di raggi diversi, ciascuno con un punto centrale definito, in modo che i cerchi presentino una porzione di sovrapposizione, come un diagramma di Venn asimmetrico. Disegnando cerchi concentrici attorno ai due cerchi originali, aumentando ogni volta il raggio di entrambi i cerchi della stessa quantità, si può disegnare un'iperbole collegando i punti di intersezione tra ciascun cerchio corrispondente (vedere Figura 5).

Per la spirale lineare, i ricercatori ritengono che gli artisti avrebbero potuto utilizzare nuovamente cerchi concentrici. I lavori precedenti del team avevano dimostrato che gli abitanti di Akrotiri nell'età del bronzo sapevano costruire gli angoli centrali di sequenze di poligoni regolari. Si potrebbe disegnare una spirale lineare collegando i punti in cui le linee rette corrispondenti dei poligoni si intersecano con cerchi concentrici (vedere Figura 6).

Nel corso dei più di 20 anni in cui Papaodysseus e il suo team hanno condotto questo lavoro, hanno sempre utilizzato MATLAB. “Non cambierei MATLAB con niente al mondo, anche se conosco molti linguaggi di programmazione,” afferma Papaodysseus. Per le attività in cui deve scrivere in C/C++, si richiama il codice da MATLAB e riceve risultati immediati. Afferma che lo stesso compito richiederebbe il triplo del tempo senza la disponibilità del wrapping MATLAB. L'usabilità, l'efficienza e la qualità dell'ambiente informatico sono indispensabili. “Riduce il numero di righe di codice da scrivere e la chiarezza dei risultati è incredibile.”

Non è solo Santorini ad avere questi affreschi impressionanti. Come accennato in precedenza, nell'affresco della Figura 4, che un tempo decorava una parete del Palazzo di Cnosso (ma ora conservato nei musei), un uomo cavalca un toro a testa in giù mentre due donne ai lati si preparano ad aiutarlo. Analizzando questo dipinto di Creta, il gruppo di Papaodysseus ha notato che la parte posteriore del toro corrispondeva in modo univoco a un'iperbole che il team aveva già visto in precedenza, negli affreschi di Santorini, mentre varie altre parti del contorno di questo affresco si adattavano in modo ottimale a parti corrispondenti di iperboli e parti a spirale individuate ad Akrotiri, Thera.