Scelta della struttura dell’impianto identificato

PID Tuner fornisce due tipi di strutture di modello per la rappresentazione delle dinamiche di impianto: modelli di processo e modelli stato-spazio.

La scelta della struttura del modello deve basarsi sulla propria conoscenza delle caratteristiche del sistema e sul livello di accuratezza richiesto dalla propria applicazione. In assenza di qualunque informazione pregressa, è possibile acquisire delle informazioni sulle dinamiche e i ritardi analizzando la risposta a gradino e la risposta in frequenza del sistema ottenute sperimentalmente. Per ulteriori informazioni, consultare quanto segue nella documentazione del System Identification Toolbox™:

Correlation Models (System Identification Toolbox)
Frequency-Response Models (System Identification Toolbox)

Ogni struttura di modello che si sceglie presenta degli elementi dinamici associati, o parametri di modello. Si procede quindi regolando manualmente o automaticamente i valori di questi parametri per trovare un modello identificato che coincida in modo soddisfacente con i dati della risposta misurata o simulata. In molti casi, quando non si è sicuri su quale sia la struttura migliore da utilizzare, è utile cominciare dalla struttura di modello più semplice, la funzione di trasferimento con un solo polo. Si può tentare progressivamente di identificare il modello con strutture di ordine superiore fino a trovare una corrispondenza soddisfacente tra risposta dell’impianto e output misurato. La struttura stato-spazio consente di eseguire una ricerca automatica dell’ordine di modello ottimale sulla base dell’analisi dei dati di input-output.

Quando si inizia l’attività di identificazione dell’impianto, una struttura a funzione di trasferimento con un solo polo reale è selezionata per impostazione predefinita. Questa impostazione predefinita non è sensibile alla natura dei dati e potrebbe non essere adatta alla propria applicazione. Si consiglia quindi di scegliere una struttura di modello idonea prima di eseguire l’identificazione dei parametri.

Modelli di processo

I modelli di processo sono funzioni di trasferimento con 3 poli o meno e possono essere aumentate con l’aggiunta di elementi zero, ritardo e integratore. I modelli di processo sono definiti dai parametri del modello che rappresentano le costanti di tempo, il guadagno e il ritardo temporale. In PID Tuner, scegliere un modello di processo nella scheda Plant Identification utilizzando il menu Structure.

Per qualunque struttura scelta, è possibile aggiungere, in via opzionale, un elemento zero, ritardo e integratore spuntando le caselle corrispondenti. Fare clic su Edit Parameters per visualizzare la funzione di trasferimento del modello configurata mediante queste scelte.

Il modello di processo più semplice a disposizione è una funzione di trasferimento con un solo polo reale e nessun elemento zero o ritardo:

$H (s) = \frac{K}{T_{1} s + 1} .$

Questo modello è definito dai parametri K, il guadagno e T₁, la prima costante di tempo. La struttura del modello di processo più complessa a disposizione ha tre poli, un integratore, uno zero e un ritardo temporale aggiuntivi, come il modello seguente, che ha un polo reale e una coppia coniugata complessa di poli:

$H (s) = K \frac{T_{z} s + 1}{s (T_{1} s + 1) (T_{ω}^{2} s^{2} + 2 ζ T_{ω} s + 1)} e^{- τ s} .$

In questo modello, i parametri configurabili comprendono le costanti di tempo associate ai poli e lo zero, T₁, T_ω e T_z. Gli altri parametri sono il coefficiente di smorzamento ζ, il guadagno K e il ritardo temporale τ.

Quando si seleziona il tipo di modello di processo, PID Tuner calcola automaticamente i valori iniziali dei parametri dell'impianto e visualizza un grafico che rappresenta sia la risposta del modello stimata che i dati misurati o simulati dall'utente. È possibile modificare graficamente i valori dei parametri utilizzando gli indicatori sul grafico, o numericamente utilizzano l’editor dei parametri dell’impianto. Per un esempio illustrativo di questo processo, vedere Stima interattiva dei parametri dell’impianto a partire dai dati di risposta.

La seguente tabella offre un riepilogo dei vari parametri che definiscono i tipi disponibili di modelli di processo.

Parametro	Utilizzato da	Descrizione
K: Guadagno	Tutte le funzioni di trasferimento	Può assumere qualsiasi valore reale. All’interno del grafico, trascinare la curva della risposta dell’impianto (blu) verso l’alto o verso il basso per regolare K.
T₁: Prima costante di tempo	Funzione di trasferimento con uno o più poli reali	Può assumere qualsiasi valore tra 0 e T, l’intervallo di tempo dei dati misurati o simulati. All’interno del grafico, trascinare la x rossa a sinistra (verso lo zero) o a destra (verso T) per regolare T₁.
T₂: Seconda costante di tempo	Funzione di trasferimento con due poli reali	Può assumere qualsiasi valore tra 0 e T, l’intervallo di tempo dei dati misurati o simulati. All’interno del grafico, trascinare la x magenta a sinistra (verso lo zero) o a destra (verso T) per regolare T₂.
T_ω: Costante di tempo associata alla frequenza naturale ω_n, dove T_ω = 1/ω_n	Funzione di trasferimento con coppia sottosmorzata (coppia coniugata complessa) di poli	Può assumere qualsiasi valore tra 0 e T, l’intervallo di tempo dei dati misurati o simulati. All’interno del grafico, trascinare una delle curve di inviluppo della risposta di colore arancione a sinistra (verso lo zero) o a destra (verso T) per regolare T_ω.
ζ: Coefficiente di smorzamento	Funzione di trasferimento con coppia sottosmorzata (coppia coniugata complessa) di poli	Può assumere qualsiasi valore tra 0 e 1. All’interno del grafico, trascinare una delle curve di inviluppo della risposta di colore arancione a sinistra (verso lo zero) o a destra (verso T) per regolare ζ.
τ: Ritardo di trasporto	Qualsiasi funzione di trasferimento	Può assumere qualsiasi valore tra 0 e T, l’intervallo di tempo dei dati misurati o simulati. All’interno del grafico, trascinare la barra verticale arancione a sinistra (verso lo zero) o a destra (verso T) per regolare τ.
T_z: Zero del modello	Qualsiasi funzione di trasferimento	Può assumere qualsiasi valore tra –T e T, l’intervallo di tempo dei dati misurati o simulati. All’interno del grafico, trascinare il cerchio rosso a sinistra (verso –T) o a destra (verso T) per regolare T_z.
Integratore	Qualsiasi funzione di trasferimento	Aggiunge un fattore di 1/s alla funzione di trasferimento. Non c’è nessun parametro associato da regolare.

Modelli stato-spazio

La struttura del modello stato-spazio per l’identificazione è definita principalmente dalla scelta del numero di stati, ovvero l’ordine del modello. Utilizzare la struttura del modello stato-spazio quando sono necessari modelli di ordine superiore rispetto a quelli supportati dalle strutture dei modelli di processo per ottenere una corrispondenza soddisfacente con i propri dati I/O misurati o simulati. Nella struttura del modello stato-spazio, le dinamiche del sistema sono rappresentate dalle equazioni di stato e di output:

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u, \\ y = C x + D u . \end{array}$

x è un vettore delle variabili di stato, scelto automaticamente dal software in base all’ordine di modello selezionato. u rappresenta il segnale di input e y i segnali di output.

Per utilizzare una struttura di modello stato-spazio, nella scheda Plant Identification, menu Structure, selezionare State-Space Model. Quindi fare clic su Configure Structure per aprire la finestra di dialogo State-Space Model Structure.

Utilizzare la finestra di dialogo per specificare le caratteristiche in termini di ordine del modello, ritardo e feedthrough. Se non si è sicuri dell’ordine, selezionare Pick best value in the range e immettere un intervallo di ordini. In questo caso, quando si fa clic su Estimate nella scheda Plant Estimation, il software mostra un diagramma a barre dei valori singolari di Hankel. Scegliere un ordine di modello uguale al numero di valori singolari di Hankel che apportano contributi significativi alle dinamiche del sistema.

Quando si sceglie una struttura del modello stato-spazio, il grafico di identificazione mostra una curva di risposta dell’impianto (blu) solo se esiste un valido modello stimato. Ad esempio, se si modifica la struttura dopo aver stimato un modello di processo, viene visualizzato l’equivalente stato-spazio del modello stimato. Se si modifica l’ordine del modello, la curva della risposta dell’impianto scompare finché non viene eseguita una nuova stima.

Quando si utilizza una struttura del modello stato-spazio, non è possibile interagire direttamente con i parametri del modello. Il modello identificato deve dunque essere considerato come non strutturato, senza alcun significato fisico collegato alle variabili di stato del modello stesso.

Tuttavia, è possibile regolare graficamente il ritardo nell’input e il guadagno complessivo del modello. Quando si seleziona un modello stato-spazio con un ritardo temporale, il ritardo è rappresentato sul grafico da una barra verticale arancione. Trascinare la barra orizzontalmente per modificare il valore del ritardo. Trascinare la curva della risposta dell’impianto (blu) verso l’alto e verso il basso per regolare il guadagno del modello.

Modelli d’impianto esistenti

I modelli d’impianto importati o identificati in precedenza sono elencati nell’area Plant List.

È possibile definire la struttura del modello e inizializzare i valori dei parametri del modello utilizzando uno dei tre impianti. A tale scopo, nella scheda Plant Identification, menu Structure, selezionare un modello di impianto lineare.

Se l'impianto selezionato è un modello di processo (oggetto idproc (System Identification Toolbox)), PID Tuner utilizza la sua struttura per l'impianto identificato. Se l'impianto appartiene a qualunque altro tipo di modello, PID Tuner utilizza la struttura del modello stato-spazio. L'applicazione inizializza i parametri stimati dell'impianto utilizzando l'impianto selezionato.

Passaggio tra diverse strutture di modello

Quando si passa da una struttura di modello a un’altra, il software mantiene il più possibile le caratteristiche del modello (posizioni di poli/zeri, guadagno, ritardo). Ad esempio, quando si passa da un modello a un solo polo ad un modello a due poli, i valori esistenti di T₁, T_z, τ e K vengono mantenuti, T₂ viene inizializzato in base a un valore predefinito (o eventualmente assegnato in precedenza).

Stima dei valori dei parametri

Una volta selezionata una struttura del modello, esistono diverse opzioni per regolare manualmente o automaticamente i valori dei parametri al fine di raggiungere una buona corrispondenza tra la risposta del modello stimato e i propri dati di input/output misurati o stimolati. Per un esempio illustrativo di tutte queste opzioni, vedere:

Stima interattiva dei parametri dell’impianto a partire dai dati di risposta (Control System Toolbox™)
Interactively Estimate Plant from Measured or Simulated Response Data (Simulink Control Design) Simulink^® Control Design™)

PID Tuner non esegue un'inizializzazione intelligente dei parametri del modello quando si seleziona una struttura del modello. Piuttosto, i valori iniziali dei parametri del modello, rispecchiati sul grafico, vengono scelti in modo arbitrario a metà dei valori dell’intervallo. Se si necessita di un buon punto di partenza prima di regolare i valori dei parametri, usare l’opzione Initialize and Estimate della scheda Plant Identification.

Gestione delle condizioni iniziali

In alcuni casi, la risposta del sistema è fortemente influenzata dalle condizioni iniziali. Pertanto, una descrizione del rapporto tra input e output sotto forma di funzione di trasferimento non basta per ottenere il fit dei dati osservati. Questo è particolarmente vero per i sistemi che contengono modalità poco smorzate. PID Tuner consente di stimare le condizioni iniziali in aggiunta ai parametri del modello in modo tale che la somma della risposta alle condizioni iniziali e della risposta all'input abbia una buona corrispondenza con l'output osservato. Usare la finestra di dialogo Estimation Options per specificare il modo in cui devono essere gestite le condizioni iniziali durante la stima automatica. Per impostazione predefinita, la gestione delle condizioni iniziali (sia che si tratti di fissare a valori zero o di effettuare una stima) viene eseguita automaticamente dall’algoritmo di stima. Tuttavia, si può esercitare una certa scelta utilizzando il menu Initial Conditions (Condizioni iniziali).

Le condizioni iniziali possono essere stimate solo automaticamente. A differenza dei parametri del modello, non possono essere modificate manualmente. Tuttavia, una volta stimate rimangono fisse sui valori stimati, a meno che non venga modificata la struttura del modello o non vengano importati nuovi dati di identificazione.

Se si modificano i parametri del modello dopo aver eseguito una stima automatica, la risposta del modello mostrerà un contributo fisso (ovvero indipendente dai parametri del modello) dalle condizioni iniziali. Nel seguente grafico, gli effetti delle condizioni iniziali sono stati identificati come particolarmente significativi. Quando il ritardo viene regolato successivamente, la parte della risposta a sinistra del marcatore del ritardo nell’input (il regolatore τ) deriva puramente dalle condizioni iniziali. La parte a destra del regolatore τ presenta gli effetti sia del segnale di input che delle condizioni iniziali.