fzero

Radice di una funzione non lineare

Sintassi

x = fzero(fun,x0)

x = fzero(fun,x0,options)

x = fzero(problem)

[x,fval,exitflag,output] = fzero(___)

Descrizione

x = fzero(fun,x0) cerca di trovare un punto x dove fun(x) = 0. Questa soluzione è dove fun(x) cambia segno: fzero non può trovare una radice di una funzione come x^2.

x = fzero(fun,x0,options) utilizza options per modificare il processo di soluzione.

x = fzero(problem) risolve un problema di ricerca della radice specificato da problem.

[x,fval,exitflag,output] = fzero(___) restituisce fun(x) nell'output fval, exitflag che codifica il motivo per cui fzero si è arrestato e una struttura di output contenente informazioni sul processo di soluzione.

Esempi

Radice con partenza da un punto

Calcolare $$\pi$$ trovando lo zero della funzione seno vicino a 3.

fun = @sin; % function
x0 = 3; % initial point
x = fzero(fun,x0)

x = 
3.1416

Radice con partenza da un intervallo

Trovare lo zero del coseno tra 1 e 2.

fun = @cos; % function
x0 = [1 2]; % initial interval
x = fzero(fun,x0)

x = 
1.5708

Si noti che $$\cos (1)$$ e $$\cos (2)$$ hanno segno diverso.

fzero con dati a singola precisione

Creare una funzione e un punto di partenza scalare a singola precisione x0. Trovare la radice della funzione utilizzando fzero partendo da x0.

f = @(x)cosh(x)-2*sinh(x);
x0 = single(1);
[x,fval,exitflag,output] = fzero(f,x0)

x = single

0.5493

fval = single

1.1921e-07

exitflag = single

1

output = struct with fields:
    intervaliterations: 9
            iterations: 3
             funcCount: 21
             algorithm: 'bisection, interpolation'
               message: 'Zero found in the interval [0.547452, 1.32]'

Creare un vettore a due elementi a singola precisione come punto di partenza che racchiuda la radice e confrontare la soluzione e il processo di soluzione.

x0 = single([-1,1]);
[x2,fval2,exitflag2,output2] = fzero(f,x0)

x2 = single

0.5493

fval2 = single

1.1921e-07

exitflag2 = single

1

output2 = struct with fields:
    intervaliterations: 0
            iterations: 5
             funcCount: 7
             algorithm: 'bisection, interpolation'
               message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'

Il risultato è identico. Questa volta, fzero utilizzare molte meno valutazioni della funzione.

Confrontare il risultato a singola precisione con lo stesso calcolo eseguito utilizzando dati standard a doppia precisione.

x0 = [-1,1];
[x3,fval3,exitflag3,output3] = fzero(f,x0)

x3 = 
0.5493

fval3 = 
-2.2204e-16

exitflag3 = 
1

output3 = struct with fields:
    intervaliterations: 0
            iterations: 7
             funcCount: 9
             algorithm: 'bisection, interpolation'
               message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'

L'utilizzo di dati a doppia precisione comporta che fzero richieda qualche valutazione della funzione in più. La precisione del risultato è molto più elevata, con un valore della funzione dell'ordine di 2e–16 rispetto al valore a singola precisione dell'ordine di 1e–7.

Radice di una funzione definita da un file

Trovare uno zero della funzione f(x) = x³ – 2x – 5.

Per prima cosa, scrivere un file chiamato f.m.

function y = f(x)
y = x.^3 - 2*x - 5;

Salvare f.m nel percorso di MATLAB^®.

Trovare lo zero di f(x) vicino a 2.

fun = @f; % function
x0 = 2; % initial point
z = fzero(fun,x0)

z =
    2.0946

Poiché f(x) è un polinomio, è possibile trovare lo stesso zero reale e una coppia di zeri complessi coniugati utilizzando il comando roots.

roots([1 0 -2 -5])

   ans =
   2.0946          
  -1.0473 + 1.1359i
  -1.0473 - 1.1359i

Radice della funzione con parametro supplementare

Trovare la radice di una funzione che ha un parametro supplementare.

myfun = @(x,c) cos(c*x);  % parameterized function
c = 2;                    % parameter
fun = @(x) myfun(x,c);    % function of x alone
x = fzero(fun,0.1)

x = 
0.7854

Opzioni non predefinite

Tracciare il processo di soluzione impostando alcune funzioni di creazione del grafico.

Definire la funzione e il punto iniziale.

fun = @(x)sin(cosh(x));
x0 = 1;

Esaminare il processo di soluzione impostando le opzioni che includono le funzioni di creazione del grafico.

options = optimset(PlotFcns={@optimplotx,@optimplotfval});

Eseguire fzero incluso options.

x = fzero(fun,x0,options)

x = 
1.8115

Risoluzione della struttura del problema

Risolvere un problema definito da una struttura di problema.

Definire una struttura che codifica un problema di ricerca della radice.

problem.objective = @(x)sin(cosh(x));
problem.x0 = 1;
problem.solver = 'fzero'; % a required part of the structure
problem.options = optimset(@fzero); % default options

Risolvere il problema.

x = fzero(problem)

x = 
1.8115

Maggiori informazioni dalla soluzione

Trovare il punto in cui exp(-exp(-x)) = x e visualizzare le informazioni relative al processo di soluzione.

fun = @(x) exp(-exp(-x)) - x; % function
x0 = [0 1]; % initial interval
options = optimset(Display="iter"); % show iterations
[x fval exitflag output] = fzero(fun,x0,options)

 
 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2               1     -0.307799        initial
    3        0.544459     0.0153522        interpolation
    4        0.566101    0.00070708        interpolation
    5        0.567143  -1.40255e-08        interpolation
    6        0.567143   1.50013e-12        interpolation
    7        0.567143             0        interpolation
 
Zero found in the interval [0, 1]

x = 
0.5671

fval = 
0

exitflag = 
1

output = struct with fields:
    intervaliterations: 0
            iterations: 5
             funcCount: 7
             algorithm: 'bisection, interpolation'
               message: 'Zero found in the interval [0, 1]'

fval = 0 significa che fun(x) = 0, come desiderato.

Argomenti di input

fun — Funzione da risolvere

handle della funzione | nome della funzione

Funzione da risolvere, specificata come handle della funzione a valore scalare o come nome di tale funzione. fun accetta uno scalare x e restituisce uno scalare fun(x).

fzero risolve fun(x) = 0. Anziché risolvere un'equazione fun(x) = c(x), risolvere fun2(x) = fun(x) - c(x) = 0.

Per includere parametri supplementari nella funzione, vedere l'esempio Radice della funzione con parametro supplementare e la sezione Parameterizing Functions.

Esempio "sin"

Esempio @myFunction

Esempio @(x)(x-a)^5 - 3*x + a - 1

Tipi di dati: char | function_handle | string

x0 — Valore iniziale

scalare | vettore a 2 elementi

Valore iniziale, specificato come scalare reale o vettore reale a 2 elementi.

• Scalare: fzero inizia a x0 e cerca di individuare un punto x1 in cui fun(x1) abbia il segno opposto rispetto a fun(x0). Quindi fzero riduce iterativamente l'intervallo in cui fun cambia segno per raggiungere una soluzione.

• Vettore a 2 elementi: fzero verifica che fun(x0(1)) e fun(x0(2)) abbiano segni opposti e segnala un errore in caso contrario. Quindi riduce iterativamente l'intervallo in cui fun cambia segno per raggiungere una soluzione. Un intervallo x0 deve essere di tipo finito; non può contenere ±Inf.

Suggerimento

Chiamare fzero con un intervallo (x0 con due elementi) è spesso più rapido che chiamarlo con uno scalare x0.

Suggerimento

Se fzero non riesce a trovare un cambiamento di segno quando x0 è uno scalare ed è possibile individuare un punto x1 dove fun(x1) presenta il segno opposto di fun(x0), passare il vettore [x0,x1] come valore iniziale.

Esempio 3

Esempio [2,17]

Tipi di dati: single | double

options — Opzioni per il processo di soluzione

struttura, solitamente creata utilizzando optimset

Opzioni per il processo di soluzione, specificate come struttura. Creare o modificare la struttura options utilizzando optimset. fzero utilizza questi campi della struttura options.

Display	Livello di visualizzazione: "off" non visualizza alcun output. "iter" visualizza l'output ad ogni iterazione. "final" visualizza solo l'output finale. "notify" (predefinito) visualizza l'output solo se la funzione non converge.
FunValCheck	Verifica che i valori della funzione obiettivo siano validi. "on" visualizza un errore quando la funzione obiettivo restituisce un valore pari a complex, Inf o NaN. L'impostazione predefinita "off" non visualizza alcun errore.
OutputFcn	Specifica una o più funzioni definite dall'utente che una funzione di ottimizzazione chiama ad ogni iterazione, come handle della funzione o array di celle dell'handle della funzione. L'impostazione predefinita è none []. Vedere Optimization Solver Output Functions.
PlotFcns	Traccia varie misure di avanzamento durante l'esecuzione dell'algoritmo. Scegliere tra i grafici predefiniti o crearne uno personalizzato. Passare un nome della funzione, un handle della funzione o un array di celle di nomi delle funzioni o di handle delle funzioni. L'impostazione predefinita è none ([]): @optimplotx traccia il punto attuale. @optimplotfval traccia il valore della funzione. Per informazioni sulla scrittura di una funzione personalizzata per la creazione del grafico, vedere Optimization Solver Plot Functions.
TolX	Tolleranza di termine su x, uno scalare positivo. Se tutti gli elementi in x0 e fun(x0) sono di tipo doppio, il valore predefinito è eps, pari a circa 2,2204e–16. Se un elemento in x0 o fun(x0) è di tipo singolo, singola, il valore predefinito è eps("single"), pari a circa 1,1921e–07.

Esempio options = optimset("FunValCheck","on")

Tipi di dati: struct

problem — Problema di risoluzione dell’equazione

struttura

Problema di risoluzione dell’equazione, specificato come struttura contenente tutti i seguenti campi.

objective	Funzione obiettivo
x0	Punto iniziale per x, scalare reale o vettore a 2 elementi
solver	'fzero'
options	Struttura delle opzioni, solitamente creata utilizzando optimset

Per un esempio, vedere Risoluzione della struttura del problema.

Tipi di dati: struct

Argomenti di output

x — Posizione della radice o del cambio di segno

scalare reale

Posizione della radice o del cambio di segno, restituita come scalare.

fval — Valore della funzione in x

scalare reale

Valore della funzione in x, restituito come scalare.

exitflag — Codifica dell'intero della condizione di uscita

intero

Codifica dell'intero della condizione di uscita, ossia il motivo per cui fzero ha interrotto le iterazioni.

1	La funzione ha raggiunto una soluzione x.
-1	L'algoritmo è stato terminato dalla funzione di output o dalla funzione di creazione del grafico.
-3	Durante la ricerca di un intervallo contenente un cambio di segno è stato rilevato un valore della funzione NaN o Inf.
-4	Durante la ricerca di un intervallo contenente un cambio di segno è stato rilevato un valore complesso della funzione.
-5	L'algoritmo potrebbe aver raggiunto un punto singolare.
-6	fzero non ha rilevato alcun cambio di segno.

output — Informazioni sul processo di ricerca della radice

struttura

Informazioni sul processo di ricerca della radice, restituite come struttura. I campi della struttura sono i seguenti:

intervaliterations	Numero di iterazioni impiegate per trovare un intervallo contenente una radice
iterations	Numero di iterazioni di ricerca dello zero
funcCount	Numero di valutazioni della funzione
algorithm	'bisection, interpolation'
message	Messaggio di uscita

Algoritmi

Il comando fzero è un file di funzione. L'algoritmo, creato da T. Dekker, utilizza una combinazione dei metodi di bisezione, secante e interpolazione quadratica inversa. Una versione in Algol 60, con alcuni miglioramenti, è riportata in [1]. Una versione Fortran, su cui si basa fzero, è disponibile in [2].

Funzionalità alternative

App

L'attività Optimize (Ottimizza) del Live Editor fornisce un'interfaccia visiva per fzero.

Riferimenti

[1] Brent, R., Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.

[2] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976.

Funzionalità estese

Generazione di codice C/C++

Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Per la generazione di codice C/C++:

• L'argomento di input fun deve essere un handle della funzione e non una struttura o un vettore di caratteri.

• fzero ignora tutte le opzioni tranne TolX e FunValCheck.

• fzero non supporta il quarto argomento di output, la struttura di output.

• Tutti i dati devono essere a doppia precisione.

Generazione di codice GPU

Genera codice CUDA® per GPU NVIDIA® con GPU Coder™.

Consultare le note su utilizzo e limitazioni nella sezione Generazione di codice C/C++. Le stesse note su utilizzo e limitazioni si applicano alla generazione di codice GPU.

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

La funzione fzero supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

R2026a: Supporto per la precisione singola

fzero ora accetta un argomento a singola precisione x0 e valori di funzione a singola precisione fun(x). La tolleranza di termine predefinita TolX si regola automaticamente per i dati di tipo single.

L'attività Optimize (Ottimizza) in Live Editor non supporta i dati a singola precisione. La generazione di codice non supporta i dati a singola precisione in fzero.

Vedi anche

fminbnd | optimset | roots | Optimize

Argomenti

• Roots of Scalar Functions
• Optimize Live Editor Task
• Parameterizing Functions