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norm

Norme di vettori e di matrici

Sintassi

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(X)

n = norm(X,p)

n = norm(X,"fro")

Descrizione

n = norm(v) restituisce la norma euclidea del vettore v. Questa norma è chiamata anche norma 2, magnitudine del vettore o lunghezza euclidea.

n = norm(v,p) restituisce il vettore generalizzato della norma p.

n = norm(X) restituisce il valore della norma 2 o il massimo valore singolare della matrice X, che è approssimativamente max(svd(X)).

n = norm(X,p) restituisce la norma p della matrice X, dove p è 1, 2 o Inf:

• Se p = 1, n è la somma assoluta massima delle colonne della matrice.

• Se p = 2, n approssimativamente max(svd(X)). Questo valore equivale a norm(X).

• Se p = Inf, n è la somma assoluta massima delle righe della matrice.

n = norm(X,"fro") restituisce la norma di Frobenius della matrice o dell’array X.

Esempi

Magnitudine del vettore

Creare un vettore e calcolare la magnitudine.

v = [1 -2 3];
n = norm(v)

n = 
3.7417

Norma 1 del vettore

Calcolare la norma 1 di un vettore, ossia la somma delle magnitudini degli elementi.

v = [-2 3 -1];
n = norm(v,1)

n = 
6

Distanza euclidea tra due punti

Calcolare la distanza tra due punti come norma della differenza tra gli elementi del vettore.

Creare due vettori che rappresentano le coordinate (x,y) di due punti sul piano euclideo.

a = [0 3];
b = [-2 1];

Utilizzare norm per calcolare la distanza tra i punti.

d = norm(b-a)

d = 
2.8284

Geometricamente, la distanza tra i punti è uguale alla magnitudine del vettore che si estende da un punto all'altro.

$$\begin{array}{l}a=0\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ b=-2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+1\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ \\ \begin{array}{rl}{d}_{(a,b)}& =||b-a||\\ & =\sqrt{(-2-0{)}^2+(1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}\end{array}$$

Norma 2 della matrice

Calcolare la norma 2 di una matrice, ossia il valore singolare più grande.

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 
4.7234

Norma di Frobenius dell’array N-D

Calcolare la norma di Frobenius di un array quadridimensionale X, che è equivalente alla norma 2 del vettore colonna X(:).

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 
7.1247

La norma di Frobenius è utile anche per le matrici sparse poiché norm(X,2) non supporta le X sparse.

Argomenti di input

v — Vettore di input

vettore

Vettore di input.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

X — Array di input

matrice | array

Array di input, specificato come matrice o array. Per la maggior parte dei tipi di norma, X deve essere una matrice. Tuttavia, per i calcoli della norma di Frobenius, X può essere un array.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

p — Tipo di norma

2 (predefinito) | scalare reale positivo | Inf | -Inf

Tipo di norma, specificato come 2 (predefinito), scalare reale positivo, Inf o -Inf. I valori validi di p e ciò che restituiscono dipendono dal fatto se il primo input in norm è una matrice o un vettore, come mostrato nella tabella.

Nota

Questa tabella non riflette gli algoritmi effettivamente utilizzati nei calcoli.

p	Matrice	Vettore
1	max(sum(abs(X)))	sum(abs(v))
2	max(svd(X))	sum(abs(v).^2)^(1/2)
Scalare numerico positivo a valore reale	—	sum(abs(v).^p)^(1/p)
Inf	max(sum(abs(X')))	max(abs(v))
-Inf	—	min(abs(v))

Argomenti di output

n — Valore della norma

scalare

Valore della norma, restituito come scalare. La norma fornisce una misura della magnitudine degli elementi. Per convenzione:

• norm restituisce NaN se l’input contiene valori NaN.

• La norma di una matrice vuota è zero.

Ulteriori informazioni

Norma euclidea

La norma euclidea (chiamata anche magnitudine del vettore, lunghezza euclidea o norma 2) di un vettore v con N elementi è definita da

$$\Vert v\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^2}}.$$

Norma generale del vettore

La definizione generale della norma p di un vettore v che contiene N elementi è

$${\Vert v\Vert }_p={\left[{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^p}\right]}^{1/p},$$

dove p è qualsiasi valore reale positivo, Inf o -Inf.

• Se p = 1, la norma 1 risultante è la somma dei valori assoluti degli elementi del vettore.

• Se p = 2, la norma 2 risultante fornisce la magnitudine del vettore o la lunghezza euclidea del vettore.

• Se p = Inf, allora $${\Vert v\Vert }_{\infty }={\max }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

• Se p = -Inf, allora $${\Vert v\Vert }_{-\infty }={\min }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

Somma massima assoluta delle colonne

La somma massima assoluta delle colonne di una matrice m x n X (con m,n >= 2) è definita da

$${\Vert X\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Somma massima assoluta delle righe

La somma massima assoluta delle righe di una matrice m x n X (con m,n >= 2) è definita da

$${\Vert X\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Norma di Frobenius

La norma di Frobenius di una matrice m x n X (con m,n >= 2) è definita da

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2}}}=\sqrt{\text{trace}\left(X^{†}X\right)}.$$

Questa definizione si estende naturalmente anche ad array con più di due dimensioni. Ad esempio, se X è un array N-D di dimensioni m x n x p x...x q, la norma di Frobenius è

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\displaystyle \sum _{k=1}^p\mathrm{...}{\displaystyle \sum _{w=1}^q{\left|a_{ijk\mathrm{...}w}\right|}^2}}}}}.$$

Suggerimenti

• Utilizzare vecnorm per trattare una matrice o un array come un gruppo di vettori e calcolare la norma lungo una dimensione specificata. Ad esempio, vecnorm può calcolare la norma di ciascuna colonna in una matrice.

Funzionalità estese

Tall array

Esegui calcoli con array che hanno più righe di quelle allocabili in memoria.

La funzione norm supporta completamente i tall array. Per maggiori informazioni, vedere Tall Array.

Generazione di codice C/C++

Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Note su utilizzo e limitazioni:

• La generazione di codice non supporta input di matrici sparse per questa funzione.

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Questa funzione supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Array GPU

Accelera il codice mediante esecuzione su un’unità di elaborazione grafica (GPU) con Parallel Computing Toolbox™.

La funzione norm supporta completamente gli array di GPU. Per eseguire la funzione su una GPU, specificare i dati di input come un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Array distribuiti

Partiziona array di grandi dimensioni nella memoria combinata del cluster con Parallel Computing Toolbox™.

Questa funzione supporta completamente gli array distribuiti. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

R2022a: La norma di Frobenius supporta gli array N-D

I calcoli della norma della forma norm(X,"fro") supportano gli input degli array N-D.

Vedi anche

vecnorm | pagenorm | normest | normalize | cond | hypot

Siti web esterni

• Algebra lineare applicata (Risorse didattiche MathWorks)