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Modellazione di un circuito RLC in serie

I sistemi fisici possono essere descritti come una serie di equazioni differenziali in forma implicita $F\left(t,x,\dot{\left\lbrace x\right\rbrace } \right)=0$ o in forma di stato-spazio implicita $E\dot{x} =A\;x+B\;u\;$

Se $E$ non è singolare, il sistema può essere facilmente convertito in un sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) e risolto come tale:

$\dot{x} =\left(E^{-1} A\right)x+\left(E^{-1} B\right)u$

Spesso, gli stati di un sistema appaiono senza una relazione diretta con le loro derivate che, solitamente, rappresentano leggi fisiche di conservazione. Ad esempio:

$\begin{array}{l}\dot{x_1 } =x_2 \\0\;=x_1 +x_2 \end{array}$

In questo caso, $E$ è singolare e non può essere invertito. Questa classe di sistemi è comunemente chiamata classe di sistemi descriptor e le equazioni sono chiamate equazioni differenziali algebriche (DAE).

Circuito RLC in serie

Si consideri un semplice circuito RLC in serie.

Dalla legge di Kirchoff sulle tensioni, la caduta di tensione attraverso il circuito è uguale alla somma della caduta di tensione attraverso ciascuno dei suoi elementi:

$V_{AC} = V_R+V_L+V_C$

Dalla legge di Kirchoff sulle tensioni:

$I_{AC}=I_R=I_L=I_C$

dove i pedici $R$ , $L$ e $C$ indicano rispettivamente la resistenza, l'induttanza e la capacità.

$V_{R} =I\left(t\right)R$

$V_L =L\dot{I_L }$ o $\dot{I_L } = \frac{1}{L}V_L$

$V_C =V_{AC} \left(0\right)+\int_0^t I_C \left(\tau \right)d\tau$ o $\dot{V_c } =\frac{1}{C}I_c$

Forma di stato spazio implicita

Modellare il sistema in Simulink® con $R=10\;\Omega$ , $L=1\times {10}^{-6} \;H$ , $C=1\times {10}^{-4} F$ per trovare la tensione attraverso il resistore $V_R$ . Per utilizzare il blocco Descriptor State-Space, il sistema può essere scritto in forma implicita o in forma di stato-spazio del descrittore $E\dot{x}=Ax+Bu$ , come mostrato nel seguito.

$\left\lbrack \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0
& 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack
\left\lbrack \begin{array}{c}\dot{V_C } \\\dot{V_L } \\\dot{V_R } \\\dot{I_L
} \\\dot{I_{AC} } \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0
& 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & R & 0\\0 & \frac{1}{L}
& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}V_C
\\V_L \\V_R \\I_L \\I_{AC} \end{array}\right\rbrack +\left\lbrack \begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right\rbrack
V_{AC}$

dove $x = {\left\lbrack \begin{array}{ccccc}V_C &V_L& V_R& I_L& I_{AC}\end{array}\right\rbrack}^T$ è il vettore di stato.

Impostare $C=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0&0& 1& 0&0\end{array}\right\rbrack$ poiché si sta misurando la tensione attraverso il resistore.

Eseguire un confronto con la modellazione del sistema con un loop algebrico onde trovare $V_R$ .

La simulazione di entrambi i modelli produce risultati identici. Tuttavia, il blocco Descriptor State-Space consente di realizzare un diagramma del blocco più semplice e di evitare i loop algebrici.

Vedere anche

Algebraic Loop Concepts

Model Differential Algebraic Equations