Progettazione di un servo controller LQG

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Questo esempio mostra come progettare un servo controller per il seguente sistema.

L’impianto ha tre stati (x), due input di controllo (u), due input casuali (w), un output (y), rumore di misura per l’output (v) e le seguenti equazioni di stato e di misura:

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

dove

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0.3 & 1 \\ 0 & 1 \\ - 0.3 & 0.9 \end{matrix}] G = [\begin{matrix} - 0.7 & 1.12 \\ - 1.17 & 1 \\ 0.14 & 1.5 \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1.9 & 1.3 & 1 \end{matrix}] D = [\begin{matrix} 0.53 & - 0.61 \end{matrix}] H = [\begin{matrix} - 1.2 & - 0.89 \end{matrix}] \end{array}$

Il sistema ha i seguenti dati di covarianza del rumore:

$\begin{array}{l} Q_{n} = E (w w^{T}) = [\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \\ R n = E (v v^{T}) = 0.7 \end{array}$

Utilizzare la seguente funzione di costo per definire il bilanciamento tra la performance del tracker e lo sforzo di controllo:

$J (u) = \int_{0}^{\infty} (0.1 x^{T} x + x_{i}^{2} + u^{T} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] u) d t$

Per progettare un servo controller LQG per questo sistema:

Creare il sistema stato-spazio digitando quanto segue nella finestra dei comandi di MATLAB:

A = [0 1 0;0 0 1;1 0 0];    
B = [0.3 1;0 1;-0.3 0.9];
G = [-0.7 1.12; -1.17 1; .14 1.5];
C = [1.9 1.3 1];  
D = [0.53 -0.61];
H = [-1.2 -0.89];
sys = ss(A,[B G],C,[D H]);

Costruire il guadagno ottimale di feedback dello stato tramite la data funzione di costo digitando i seguenti comandi:

nx = 3;    %Number of states
ny = 1;    %Number of outputs
Q = blkdiag(0.1*eye(nx),eye(ny));
R = [1 0;0 2];
K = lqi(ss(A,B,C,D),Q,R);

Costruire lo stimatore dello stato di Kalman con i dati noti della covarianza di rumore digitando i seguenti comandi:
```
Qn = [4 2;2 1]; 
Rn = 0.7;
kest = kalman(sys,Qn,Rn);
```

Collegare lo stimatore dello stato di Kalman e il guadagno ottimale di feedback dello stato in modo da formare il servo controller LQG digitando il seguente comando:

trksys = lqgtrack(kest,K)

Questo comando restituisce il seguente servo controller LQG:

>> trksys = lqgtrack(kest,K)
 
a = 
           x1_e    x2_e    x3_e     xi1
   x1_e  -2.373  -1.062  -1.649   0.772
   x2_e  -3.443  -2.876  -1.335  0.6351
   x3_e  -1.963  -2.483  -2.043  0.4049
   xi1        0       0       0       0
 
b = 
             r1      y1
   x1_e       0  0.2849
   x2_e       0  0.7727
   x3_e       0  0.7058
   xi1        1      -1
 
c = 
          x1_e     x2_e     x3_e      xi1
   u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
   u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
 
d = 
       r1  y1
   u1   0   0
   u2   0   0
 
Input groups:              
       Name        Channels
     Setpoint         1    
    Measurement       2    
                           
Output groups:             
      Name      Channels   
    Controls      1,2      
                           
Continuous-time model.

Vedi anche

kalman | lqgtrack | lqi

Progettazione di un servo controller LQG

Vedi anche

Argomenti complementari