obsv

Osservabilità del modello stato-spazio

Sintassi

Ob = obsv(A,C)

Ob = obsv(sys)

Descrizione

Un sistema dinamico è detto osservabile se tutti i suoi stati possono essere conosciuti dall'output del sistema. obsv calcola una matrice di osservabilità dalle matrici di stato o da un modello stato-spazio. È possibile utilizzare questa matrice per determinare l'osservabilità.

Ad esempio, si consideri un modello stato-spazio a tempo continuo con Nx stati, Ny output e Nu input:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

In questo caso, x, u e y rappresentano rispettivamente gli stati, gli input e gli output, mentre A, B, C e D sono le matrici stato-spazio con le seguenti grandezze:

• A è una matrice Nx x Nx a valore reale o a valore complesso.

• B è una matrice Nx x Nu a valore reale o a valore complesso.

• C è una matrice Ny x Nx a valore reale o a valore complesso.

• D è una matrice Ny x Nu a valore reale o a valore complesso.

Il sistema è osservabile se la matrice di osservabilità generata da obsv $$Ob=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ \begin{array}{l}C{A}^2\\ :\end{array}\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$ ha un rank completo, ossia il rank è uguale al numero di stati del modello stato-spazio. La matrice di osservabilità Ob ha Nx righe e Nxy colonne. Per un esempio, vedere Osservabilità del modello stato-spazio SISO.

Ob = obsv(A,C) restituisce la matrice di osservabilità Ob utilizzando la matrice di stato A e la matrice stato-output C. Il sistema è osservabile se Ob ha un rank completo, ossia se il rank di Ob è uguale al numero di stati.

Ob = obsv(sys) restituisce la matrice di osservabilità del modello stato-spazio sys. Questa sintassi equivale a:

Ob = obsv(sys.A,sys.C);

Esempi

Verifica dell'osservabilità del sistema

Definire le matrici A e C.

A = [1  1;
     4 -2];
C = [-1 1;
     1 -1];

Calcolare la matrice di osservabilità.

Ob = obsv(A,C);

Determinare il numero di stati non osservabili.

unobsv = length(A) - rank(Ob)

unobsv = 
1

Lo stato non osservabile indica che Ob non ha il rank 2 completo. Pertanto, il sistema non è osservabile.

Osservabilità del modello stato-spazio SISO

Per questo esempio, si consideri il seguente modello stato-spazio SISO con 2 stati:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1.5& -2\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]D=1$$

Creare il modello stato-spazio SISO definito dalle seguenti matrici stato-spazio:

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

Calcolare la matrice di osservabilità e trovare il rank.

Ob = obsv(sys)

Ob = 2×2

     0     1
     1     0

La grandezza della matrice di osservabilità dipende dalla grandezza delle matrici A e C. Ad esempio, se la matrice A è una matrice Nx x Nx e la matrice C è una matrice Nx x Ny, la matrice risultante Ob presenta Nx righe e Nxy colonne. In questo caso, Nx è il numero di stati e Ny è il numero di output.

rank(Ob)

ans = 
2

Poiché il rank della matrice di osservabilità Ob è uguale al numero di stati, il sistema sys è osservabile.

In alternativa, è anche possibile utilizzare solo le matrici A e C per trovare la matrice di osservabilità.

Ob = obsv(sys.A,sys.C);
rank(Ob)

ans = 
2

Argomenti di input

A — Matrice di stato

Matrice Nx x Nx

Matrice di stato, specificata come matrice Nx x Nx, dove Nx è il numero degli stati.

C — Matrice stato-output

Matrice Ny x Nx

Matrice stato-output, specificata come una matrice Ny x Nx, dove Nx è il numero di stati e Ny è il numero di output.

sys — Modello stato-spazio o array di modelli

oggetto del modello ss | oggetto del modello genss | oggetto del modello uss

Modello stato-spazio o array di modelli, specificati come:

• Un oggetto del modello stato-spazio (ss), quando gli input A, B, C e D sono matrici numeriche o quando si converte da un altro tipo di oggetto del modello.

• Un oggetto del modello stato-spazio generalizzato (genss), quando una o più delle matrici A, B, C e D includono parametri sincronizzabili, come i parametri realp o le matrici generalizzate (genmat). La funzione utilizza i valori correnti dei parametri sincronizzabili.

• Un oggetto del modello stato-spazio incerto (uss), quando uno o più input A, B, C e D includono matrici incerte. La funzione utilizza i valori nominali per i parametri incerti. Per utilizzare i modelli incerti è necessario disporre del software Robust Control Toolbox™.

Argomenti di output

Ob — Matrice di osservabilità

array

Matrice di osservabilità, restituita come array. Quando sys è:

• Un singolo modello stato-spazio con Nx stati e Ny output, quindi l'array risultante Ob presenta Nx righe e Nxy colonne.

• Un array di modelli stato-spazio sys(:,:,j1,...,jN), Ob è un array con N+2 dimensioni, ossia Ob(:,:,j1,...,jN).

Limiti

• obsv non è consigliato per la progettazione di controllo poiché il calcolo del rank della matrice di osservabilità non è consigliato per il test di osservabilità. Ob sarà numericamente singolare per la maggior parte dei sistemi con più di pochi stati. Questo aspetto è ben documentato nella sezione III di [1].

Riferimenti

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

obsvf | ctrb

Siti web esterni

• Video - A Conceptual Approach to Controllability and Observability