ctrb

Controllabilità del modello stato-spazio

Sintassi

Co = ctrb(A,B)

Co = ctrb(sys)

Descrizione

Si dice che un sistema dinamico è controllabile quando è possibile applicare segnali di controllo che portino il sistema in qualsiasi stato entro un tempo finito. Questa caratteristica è anche chiamata raggiungibilità. ctrb calcola una matrice di controllabilità da matrici di stato o da un modello stato-spazio. È possibile utilizzare questa matrice per determinare la controllabilità.

Ad esempio, si consideri un modello stato-spazio a tempo continuo con Nx stati, Ny output e Nu input:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

In questo caso, x, u e y rappresentano rispettivamente gli stati, gli input e gli output, mentre A, B, C e D sono le matrici stato-spazio con le seguenti grandezze:

• A è una matrice Nx x Nx a valore reale o a valore complesso.

• B è una matrice Nx x Nu a valore reale o a valore complesso.

• C è una matrice Ny x Nx a valore reale o a valore complesso.

• D è una matrice Ny x Nu a valore reale o a valore complesso.

Il sistema è controllabile se la matrice di controllabilità generata da ctrb $$Co=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \dots & A^{n-1}B\end{array}\right]$$ ha rank completo, ossia il rango è uguale al numero di stati del modello stato-spazio. La matrice di controllabilità Co ha Nx righe e Nxu colonne. Per un esempio, vedere Controllabilità del modello stato-spazio SISO.

Co = ctrb(A,B) restituisce la matrice di controllabilità Co utilizzando la matrice di stato A e la matrice input-stato B. Il sistema è controllabile se Co ha rank completo, ossia se il rango di Co è uguale al numero di stati.

Co = ctrb(sys) restituisce la matrice di controllabilità del modello stato-spazio sys. Questa sintassi equivale a:

Co = ctrb(sys.A,sys.B);

Esempi

Verifica della controllabilità del sistema

Definire le matrici A e B.

A = [1  1;
     4 -2];
B = [1 -1;
     1 -1];

Calcolare la matrice di controllabilità.

Co = ctrb(A,B);

Determinare il numero di stati non controllabili.

unco = length(A) - rank(Co)

unco = 
1

Lo stato incontrollabile indica che Co non ha rank completo 2. Pertanto, il sistema non è controllabile.

Controllabilità del modello stato-spazio SISO

Per questo esempio, si consideri il seguente modello stato-spazio SISO con 2 stati:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1.5& -2\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]D=1$$

Creare il modello stato-spazio SISO definito dalle seguenti matrici stato-spazio:

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

Calcolare la matrice di controllabilità e individuare il rank.

Co = ctrb(sys)

Co = 2×2

    0.5000   -0.7500
         0    0.5000

La grandezza della matrice di controllabilità dipende dalla grandezza delle matrici A e B. Ad esempio, se la matrice A è una matrice Nx x Nx e la matrice B è una matrice Nx x Nu, la matrice risultante Co ha Nx righe e Nxu colonne. In questo caso, Nx è il numero di stati e Nu è il numero di input.

rank(Co)

ans = 
2

Poiché il rank della matrice di controllabilità Co è uguale al numero di stati, il sistema sys è controllabile.

In alternativa, è anche possibile utilizzare solo le matrici A e B per trovare la matrice di controllabilità.

Co = ctrb(sys.A,sys.B);
rank(Co)

ans = 
2

Argomenti di input

A — Matrice di stato

Matrice Nx x Nx

Matrice di stato, specificata come matrice Nx x Nx, dove Nx è il numero degli stati.

B — Matrice input-stato

Matrice Nx x Nu

Matrice input-stato, specificata come una matrice Nx x Nu, dove Nx è il numero di stati e Nu è il numero di input.

sys — Modello stato-spazio o array di modelli

oggetto del modello ss | oggetto del modello genss | oggetto del modello uss

Modello stato-spazio o array di modelli, specificati come:

• Un oggetto del modello stato-spazio (ss), quando gli input A, B, C e D sono matrici numeriche o quando si converte da un altro tipo di oggetto del modello.

• Un oggetto del modello stato-spazio generalizzato (genss), quando una o più delle matrici A, B, C e D includono parametri sincronizzabili, come i parametri realp o le matrici generalizzate (genmat). La funzione utilizza i valori correnti dei parametri sincronizzabili.

• Un oggetto del modello stato-spazio incerto (uss), quando uno o più input A, B, C e D includono matrici incerte. La funzione utilizza i valori nominali per i parametri incerti. Per utilizzare i modelli incerti è necessario disporre del software Robust Control Toolbox™.

Argomenti di output

Co — Matrice di controllabilità

array

Matrice di controllabilità, restituita come array. Quando sys è:

• Un modello stato-spazio singolo con Nx stati e Nu input, l'array risultante Co presenta Nx righe e Nxu colonne.

• Un array di modelli stato-spazio sys(:,:,j1,...,jN), Co è un array con N+2 dimensioni, ossia Co(:,:,j1,...,jN).

Riferimenti

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

ctrbf | obsv

Siti web esterni

• Video - A Conceptual Approach to Controllability and Observability