Che cos’è la risposta in frequenza?

Una risposta in frequenza descrive la risposta in stato stazionario di un sistema a input sinusoidali di frequenze variabili e consente agli ingegneri che si occupano dei controlli di analizzare e progettare sistemi di controllo nel dominio della frequenza.

Per comprendere l’importanza del dominio della frequenza, prendiamo ad esempio una chitarra acustica. Se posizioniamo un microfono in prossimità del piano armonico e pizzichiamo una delle corde (Fig. 1, a sinistra), la vibrazione risuonerà nella cavità della chitarra e produrrà un’onda sonora che viene captata dal microfono. Osservando la traccia temporale del segnale acquisito (Fig. 1, a destra), è difficile estrarre rapidamente informazioni su ciò che sta accadendo.

La vibrazione risuona nella cavità della chitarra e produce un’onda sonora.

Figura 1: la vibrazione risuona nella cavità della chitarra e produce un’onda sonora (a sinistra). Traccia temporale del segnale nel dominio del tempo (a destra).

Quando osserviamo lo stesso segnale nel dominio della frequenza su un analizzatore di spettro o applicando una trasformata di Fourier veloce (FFT) del segnale nel dominio del tempo, vediamo un picco di ampiezza a qualche frequenza (Fig. 2, a sinistra). Questa frequenza di picco è il tono sottostante che forma la nota appena suonata. Quando regoliamo la manopola dell’accordatore o premiamo la corda contro il manico della chitarra, modifichiamo il precarico o la lunghezza effettiva di quella corda. Ciò determina uno spostamento della frequenza alla quale la corda risuona verso l’alto o verso il basso, producendo così una nota diversa (Fig. 2, a destra). Questa semplice analisi nel dominio della frequenza ci permette di capire in che modo la chitarra (il sistema) risponde quando viene pizzicata (l’input del sistema).

Figura 3: lo stesso segnale mostrato nel dominio della frequenza.

Figura 2: lo stesso segnale mostrato nel dominio della frequenza (a sinistra). Spostamento della frequenza di risonanza della corda mediante precaricamento (a destra).

Questa analogia può essere applicata ad altri sistemi in cui siamo interessati alla risposta del sistema agli input o agli stimoli dell’ambiente. In questo modo possiamo ottenere informazioni sulle dinamiche del sistema, come ad esempio la frequenza di un picco risonante, il guadagno DC, la larghezza di banda, il ritardo di fase e i margini di fase e di guadagno per un sistema a loop chiuso.

Ottenimento della risposta in frequenza di un sistema

Il seguente diagramma aiuta a individuare un approccio (mostrato in grigio) per ottenere la risposta in frequenza di un sistema utilizzando MATLAB® e Simulink®.

Figura 3: ottenimento di una risposta in frequenza per un sistema con MATLAB e Simulink.

Figura 3: ottenimento di una risposta in frequenza per un sistema con MATLAB e Simulink.

  1. Nel caso di una rappresentazione lineare del sistema sotto forma di una funzione di trasferimento o di un modello nello stato degli spazi, è possibile tracciare la risposta in frequenza utilizzando uno di questi tre diagrammi: il diagramma di Bode, il diagramma di Nyquist o il diagramma di diagramma di Nichols. Il diagramma di Bode mostra l’ampiezza e la fase come funzioni della frequenza del segnale di eccitazione (Fig. 4).
  2. Ad esempio, data la rappresentazione della funzione di trasferimento di un sistema \((H)\),

    $$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

    è possibile tracciare la relativa risposta in frequenza in MATLAB utilizzando i seguenti comandi:

    \(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

    \(bode(H)\)

Figura 4: diagramma di Bode

Figura 4: diagramma di Bode

In alcune situazioni, potrebbe non essere disponibile una rappresentazione lineare del sistema.

  1. In questo caso, se si dispone dell’accesso ai dati di test input-output del sistema fisico, è possibile utilizzare approcci di modellazione basati sui dati con System Identification Toolbox™ per identificare funzioni di trasferimento, rappresentazioni nello stato degli spazi e modelli di risposta in frequenza del sistema.
  2. Se si utilizza Simulink per modellare le dinamiche del sistema, è possibile utilizzare l’app Model Linearizer in Simulink Control Design™ per linearizzare il modello al fine di creare un’approssimazione lineare nello stato degli spazi del modello Simulink e tracciare la risposta in frequenza.
  3. Nel caso in cui i modelli Simulink non possano essere linearizzati a causa di discontinuità, è possibile utilizzare la stima della risposta in frequenza per stimare direttamente un modello di risposta in frequenza.
Figura 5: stima della risposta in frequenza in Simulink.

Figura 5: stima della risposta in frequenza in Simulink.

Simulink Control Design fornisce due approcci per stimare un modello di risposta in frequenza di un sistema.

Stima offline della risposta in frequenza
L’app Model Linearizer eccita il sistema con un segnale di perturbazione di input a determinate frequenze e registra la risposta in output del modello durante la simulazione (Fig. 5). In seguito alla simulazione, i segnali di input e output registrati vengono elaborati per calcolare una risposta in frequenza del modello.

Stima online della risposta in frequenza
La risposta in frequenza di un impianto fisico viene stimata durante il funzionamento in tempo reale con il blocco Frequency Response Estimator. Questo blocco inietta segnali di test sinusoidali nell’impianto al punto di funzionamento nominale e la risposta in frequenza viene affinata continuamente man mano che i dati dei segnali di output vengono raccolti.

La tabella seguente mostra i segnali di perturbazione che è possibile iniettare in base alle esigenze di stima di gamma di frequenza, precisione e velocità di stima.

Tipo di segnale di input Disponibilità di stima offline/online Gamma di frequenza (banda stretta/banda larga) Precisione Velocità di stima Utile quando...
      Scala da 1 (bassa) a 5 (alta)  
Sinestream Offline, online Banda stretta ★★★★★ Il sistema contiene forti non linearità o sono necessari modelli di risposta in frequenza molto precisi.
Chirp Offline Banda larga ★★ ★★★ Il sistema è quasi lineare nella gamma di frequenza. Utile anche quando si desidera ottenere rapidamente una risposta per molti punti di frequenza.
PRBS Offline Banda larga ★★ ★★★ Il sistema contiene componenti di commutazione ad alta frequenza come nei sistemi di comunicazione e di elettronica di potenza.
A gradino Offline Banda larga ★★★ Eccitazione uniforme del sistema a tutte le frequenze fino alla frequenza di Nyquist
Casuale Offline Banda larga ★★ ★★★ Non si possiede grande conoscenza del sistema che si sta stimando.

In sintesi, il calcolo della risposta in frequenza di un sistema è fondamentale per l’analisi e la progettazione di controllo. MATLAB e Simulink forniscono diversi approcci che è possibile utilizzare per ottenere la risposta in frequenza del proprio sistema. Per saperne di più su questi approcci, consulta gli esempi e i riferimenti riportati di seguito.


Esempi e consigli pratici