Risposta in frequenza

Una risposta in frequenza descrive la risposta in stato stazionario di un sistema a input sinusoidali di frequenze variabili e consente agli ingegneri che si occupano dei controlli di analizzare e progettare sistemi di controllo nel dominio della frequenza.

Per comprendere perché il dominio della frequenza è importante, prendiamo in considerazione una chitarra acustica. Se posizioniamo un microfono in prossimità del piano armonico e pizzichiamo una delle corde (Fig. 1, a sinistra), la vibrazione risuonerà nella cavità della chitarra e produrrà un’onda sonora che viene captata dal microfono. Osservando la traccia temporale del segnale acquisito (Fig. 1, a destra), è difficile estrarre rapidamente informazioni su ciò che sta accadendo.

Quando osserviamo lo stesso segnale nel dominio della frequenza su un analizzatore di spettro o applicando una trasformata di Fourier veloce (FFT) del segnale nel dominio del tempo, vediamo un picco di ampiezza a qualche frequenza (Fig. 2, a sinistra). Questa frequenza di picco è il tono sottostante che forma la nota appena suonata. Quando regoliamo la manopola dell’accordatore o premiamo la corda contro il manico della chitarra, modifichiamo il precarico o la lunghezza effettiva di quella corda. Ciò determina uno spostamento della frequenza alla quale la corda risuona verso l’alto o verso il basso, producendo così una nota diversa (Fig. 2, a destra). Questa semplice analisi nel dominio della frequenza ci permette di capire in che modo la chitarra (il sistema) risponde quando viene pizzicata (l’input del sistema).

Questa analogia può essere applicata ad altri sistemi in cui siamo interessati alla risposta del sistema agli input o agli stimoli dell’ambiente. Possiamo ottenere informazioni sulla dinamica del sistema, come la frequenza di un picco di risonanza, il guadagno statico, la larghezza di banda, il ritardo di fase e i margini di fase e di guadagno per un sistema a loop chiuso.

Determinazione della risposta in frequenza di un sistema

Il seguente diagramma aiuta a individuare un approccio (mostrato in grigio) per ottenere la risposta in frequenza di un sistema utilizzando MATLAB^® e Simulink^®.

1. Se si dispone di una rappresentazione lineare del sistema sotto forma di funzione di trasferimento o modello nello spazio degli stati, è possibile rappresentare graficamente la risposta in frequenza utilizzando uno dei tre seguenti grafici: un diagramma di Bode, un diagramma di Nyquist, o un diagramma di Nichols. Il diagramma di Bode mostra l’ampiezza e la fase come funzioni della frequenza del segnale di eccitazione (Fig. 4).

Ad esempio, data la rappresentazione della funzione di trasferimento di un sistema \((H)\),

$$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

è possibile tracciare la relativa risposta in frequenza in MATLAB utilizzando i seguenti comandi:

\(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

\(bode(H)\)

In alcune situazioni, potrebbe non essere disponibile una rappresentazione lineare del sistema.

2. In questo caso, se si dispone dell’accesso ai dati di test input-output del sistema fisico, è possibile utilizzare approcci di modellazione basati sui dati con System Identification Toolbox™ per identificare funzioni di trasferimento, rappresentazioni nello stato degli spazi e modelli di risposta in frequenza del sistema.
3. Se si utilizza Simulink per modellare le dinamiche del sistema, è possibile utilizzare l’app Model Linearizer in Simulink Control Design™ per linearizzare il modello al fine di creare un’approssimazione lineare nello stato degli spazi del modello Simulink e tracciare la risposta in frequenza.
4. Nel caso in cui i modelli Simulink non possano essere linearizzati a causa di discontinuità, è possibile utilizzare la stima della risposta in frequenza per stimare direttamente un modello di risposta in frequenza. Per i sistemi con discontinuità dovute a eccitazioni periodiche o auto-oscillazioni, come i modelli di elettronica di potenza, è possibile calcolare i punti operativi in regime stazionario periodico utilizzando Simulink Control Design. La stima della risposta in frequenza può quindi essere eseguita intorno a questo punto operativo in regime stazionario periodico, riducendo al minimo il tempo di simulazione richiesto.

Simulink Control Design fornisce due approcci per stimare un modello di risposta in frequenza di un sistema.

Stima offline della risposta in frequenza
L'app Model Linearizer applica al sistema un segnale di perturbazione in ingresso alle frequenze specificate e registra la risposta all'uscita del modello durante la simulazione (Fig. 5). Al termine della simulazione, i segnali di input e di output registrati vengono elaborati per calcolare la risposta in frequenza del modello.

Stima online della risposta in frequenza
La risposta in frequenza di un impianto fisico viene stimata durante il funzionamento in tempo reale mediante il blocco Frequency Response Estimator. Questo blocco inietta segnali di test sinusoidali nell'impianto in corrispondenza del punto operativo nominale e la risposta in frequenza viene continuamente affinata man mano che vengono raccolti i dati del segnale di uscita.

La tabella seguente mostra i segnali di perturbazione che è possibile iniettare in base alle esigenze di stima di gamma di frequenza, precisione e velocità di stima.

In sintesi, il calcolo della risposta in frequenza di un sistema è fondamentale per l’analisi e la progettazione di controllo. MATLAB e Simulink forniscono diversi approcci che è possibile utilizzare per ottenere la risposta in frequenza del proprio sistema. Per saperne di più su questi approcci, consulta gli esempi e i riferimenti riportati di seguito.