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polyval

Valutazione polinomiale

Sintassi

y = polyval(p,x)

[y,delta] = polyval(p,x,S)

y = polyval(p,x,[],mu)

[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)

Descrizione

y = polyval(p,x) valuta il polinomio p in ciascun punto di x. L'argomento p è un vettore di lunghezza n+1 i cu elementi sono i coefficienti (in potenze decrescenti) di un polinomio di grado n-esimo:

$$p(x)=p_1{x}^n+p_2{x}^{n-1}+\mathrm{...}+p_{n}x+p_{n+1}.$$

I coefficienti polinomiali in p possono essere calcolati per scopi diversi da funzioni come polyint, polyder e polyfit, ma è possibile specificare qualsiasi vettore per i coefficienti.

Per valutare un polinomio in senso matriciale, utilizzare invece polyvalm.

[y,delta] = polyval(p,x,S) utilizza la struttura di output opzionale S prodotta da polyfit per generare le stime di errore. delta a stima dell'errore standard nella previsione di un'osservazione futura in x da p(x).

y = polyval(p,x,[],mu) o [y,delta] = polyval(p,x,S,mu) utilizza l'output opzionale mu prodotto da polyfit per centrare e scalare i dati. mu(1) è mean(x) e mu(2) è std(x). Utilizzando questi valori, polyval centra x sullo zero e lo scala per ottenere una deviazione standard unitaria,

$$\widehat{x}=\frac{x-\overline{x}}{{\sigma }_x}.$$

Questa trasformazione di centratura e scalatura migliora le proprietà numeriche del polinomio.

Esempi

Valutazione di un polinomio in più punti

Valutare il polinomio $\mathit{p}\left(\mathit{x}\right)=3{\mathit{x}}^2+2\mathit{x}+1$ nei punti $\mathit{x}=5,7,9$. I coefficienti polinomiali possono essere rappresentati dal vettore [3 2 1].

p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y = 1×3

    86   162   262

Integrazione del polinomio quartico

Valutare l'integrale definito

$$I={\int }_{-1}^3(3x^4-4x^2+10x-25)dx.$$

Creare un vettore per rappresentare l'integranda polinomiale $$3x^4-4x^2+10x-25$$. Il termine ${\mathit{x}}^3$ è assente, quindi ha un coefficiente pari a 0.

p = [3 0 -4 10 -25];

Utilizzare polyint per integrare il polinomio utilizzando una costante di integrazione pari a 0.

q = polyint(p)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

Trovare il valore dell'integrale valutando q ai limiti dell'integrazione.

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 49.0667

Regressione lineare con stima di errore

Adattare un modello lineare a una serie di punti di dati e tracciare i risultati, compresa una stima di un intervallo di previsione del 95%.

Creare qualche vettore di punti di dati campione (x,y). Utilizzare polyfit per adattare un polinomio di primo grado ai dati. Specificare due output per restituire i coefficienti dell'adattamento lineare nonché la struttura di stima dell'errore.

x = 1:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,100); 
[p,S] = polyfit(x,y,1); 

Valutare l’adattamento polinomiale di primo grado in p nei punti di x. Specificare la struttura di stima dell'errore come terzo input in modo che polyval calcoli una stima dell’errore standard. La stima dell'errore standard è restituita in delta.

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

Tracciare i dati originali, l'adattamento lineare e l'intervallo di previsione del 95% $\mathit{y}\pm 2\Delta$.

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')

Utilizzo della centratura e della scalatura per migliorare le proprietà numeriche

Creare una tabella di dati sulla popolazione per gli anni 1750-2000 e tracciare i punti di dati.

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop   
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

Utilizzare polyfit con tre output per adattare un polinomio di 5° grado utilizzando la centratura e la scalatura, che migliorano le proprietà numeriche del problema. polyfit centra i dati in year sullo 0 e li scala in modo da ottenere una deviazione standard di 1, che evita una matrice di Vandermonde mal condizionata nel calcolo dell’adattamento.

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

Utilizzare polyval con quattro input per valutare p con gli anni scalati (year-mu(1))/mu(2). Tracciare i risultati rispetto agli anni originali.

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off

Argomenti di input

p — Coefficienti polinomiali

vettore

Coefficienti polinomiali, specificati come vettore. Ad esempio, il vettore [1 0 1] rappresenta il polinomio $$x^2+1$$ e il vettore [3.13 -2.21 5.99] rappresenta il polinomio $$3.13x^2-2.21x+5.99$$.

Per maggiori informazioni, vedere Create and Evaluate Polynomials.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

x — Punti di query

vettore

Punti di query, specificati come vettore. polyval valuta il polinomio p nei punti di x e restituisce i corrispondenti valori della funzione in y.

Tipi di dati: single | double
Supporto numeri complessi: Sì

S — Struttura di stima dell'errore

struttura

Struttura di stima dell’errore. Questa struttura è un output opzionale di [p,S] = polyfit(x,y,n) che può essere utilizzato per ottenere le stime di errore. S contiene i seguenti campi:

Campo	Descrizione
R	Fattore triangolare da una decomposizione QR della matrice di Vandermonde di x
df	Gradi di libertà
normr	Norma dei residui

Se i dati in y sono casuali, una stima della matrice di covarianza di p è (Rinv*Rinv')*normr^2/df, dove Rinv è l’inverso di R.

mu — Valori di centratura e scalatura

vettore a due elementi

Valori di centratura e scalatura, specificati come vettore a due elementi. Questo vettore è un output opzionale di [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) che viene utilizzato per migliorare le proprietà numeriche dell'adattamento e della valutazione del polinomio p. Il valore mu(1) è mean(x) e mu(2) è std(x). Questi valori sono utilizzati per centrare i punti di query in x su zero con deviazione standard unitaria.

Specificare mu per valutare p nei punti scalati, (x - mu(1))/mu(2).

Argomenti di output

y — Valori della funzione

vettore

Valori della funzione, restituiti come vettore della stessa grandezza dei punti di query x. Il vettore contiene il risultato della valutazione del polinomio p in ciascun punto di x.

delta — Errore standard per la previsione

vettore

Errore standard per la previsione, restituito come vettore della stessa grandezza dei punti di query x. In generale, un intervallo di y ± Δ corrisponde a un intervallo di previsione di circa il 68% per le osservazioni future di campioni di grandi dimensioni e y ± 2Δ corrisponde a un intervallo di previsione di circa il 95%.

Se i coefficienti in p sono stime ai minimi quadrati calcolate da polyfit e gli errori nei dati input in polyfit sono indipendenti, normali e con varianza costante, allora y ± Δ è un intervallo di previsione di almeno il 50%.

Funzionalità estese

Tall array

Esegui calcoli con array che hanno più righe di quelle allocabili in memoria.

Note su utilizzo e limitazioni:

Se x è un tall array, deve essere un vettore colonna.

Per maggiori informazioni, vedere Tall Array.

Generazione di codice C/C++
Genera codice C e C++ con MATLAB® Coder™.

Ambiente basato su thread

Esegui il codice in background usando MATLAB® backgroundPool oppure accelera il codice con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Questa funzione supporta completamente gli ambienti basati su thread. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

Array GPU

Accelera il codice mediante esecuzione su un’unità di elaborazione grafica (GPU) con Parallel Computing Toolbox™.

Questa funzione supporta completamente gli array di GPU. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Array distribuiti

Partiziona array di grandi dimensioni nella memoria combinata del cluster con Parallel Computing Toolbox™.

Questa funzione supporta completamente gli array distribuiti. Per maggiori informazioni, vedere Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Cronologia versioni

Introduzione prima di R2006a

Vedi anche

polyfit | polyvalm | polyder | polyint

Argomenti

• Create and Evaluate Polynomials
• Programmatic Fitting