Che cos’è la regressione lineare?

La regressione lineare è una tecnica di modellazione statistica utilizzata per descrivere una varabile di risposta continua in funzione di una o più variabili (predittori). Può contribuire a comprendere e a prevedere il comportamento di sistemi complessi, nonché ad analizzare dati sperimentali, finanziari e biologici.

Le tecniche di regressione lineare vengono usate per creare un modello lineare. Il modello descrive la relazione tra una variabile dipendente $y$ (chiamata anche “risposta”) in funzione di una o più variabili indipendenti $X_{i}$ (chiamate anche “predittori”). L’equazione generale per un modello di regressione lineare è la seguente:

$Y = β_{0} + \sum β_{k} X_{k} + ϵ_{i}$

dove $β$ rappresenta le stime per i parametri lineari da calcolare e $ϵ$ rappresenta i termini di errore.

Tipi di regressione lineare

Regressione lineare semplice: modelli che usano un solo predittore. L’equazione generale è la seguente:

$Y = β_{0} + β_{1} X + ϵ$

Grafico che mostra la linea della regressione lineare, valori di risposta (incidenti stradali fatali per stato) e valori predittivi (popolazione dello stato). — Esempio di regressione lineare semplice che mostra come prevedere il numero di incidenti stradali fatali in uno stato (variabile di risposta, $Y$ ) rispetto alla popolazione dello stato (variabile predittiva, $X$ .). (Guarda l’esempio di codice MATLAB^® e scopri come usare l’operatore mldivide per stimare i coefficienti per una regressione lineare semplice.)

Regressione lineare multipla: modelli che usano più predittori. Questa regressione si serve di più $X_{i}$ per prevedere la risposta, $Y$ . Un esempio di questa equazione è il seguente:

$Y = β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + ϵ$

Grafico che mostra la regressione lineare multipla, valori di risposta (MPG) e valori predittivi (peso e potenza). — Esempio di regressione lineare multipla, che prevede il numero di miglia per gallone (MPG) di diverse automobili (variabile di risposta, $Y$ ) in base al peso e alla cilindrata (variabili predittive, $X_{j}$ ). (Guarda l’esempio di codice MATLAB, scopri come usare la funzione regress e determinare la significatività della relazione di regressione lineare multipla.)

Regressione lineare multivariata: modelli per multiple variabili di risposta. Questa regressione ha più $Y_{i}$ che derivano dagli stessi dati $Y$ . Vengono usate diverse forme per esprimerle. Un esempio di questo sistema con 2 equazioni è il seguente:

$Y_{1} = β_{01} + β_{11} X_{1} + ϵ_{1}$

$Y_{2} = β_{02} + β_{12} X_{1} + ϵ_{2}$

Grafico che mostra la regressione lineare multivariata, valori di risposta (stime dell’influenza per 9 regioni) e valori predittivi (settimana dell’anno). — Esempio di regressione lineare multivariata che mostra come prevedere le stime di casi di influenza per 9 regioni (variabili di risposta, $Y_{i}$ ), in base alla settimana dell’anno (variabile predittiva, $X$ ). (Guarda l’esempio di codice MATLAB e scopri come usare la funzione mvregress per determinare i coefficienti stimati per una regressione lineare multivariata.)

Regressione lineare multipla multivariata: modelli che usano più predittori per multiple variabili di risposta. Questa regressione ha più $X_{i}$ per prevedere più risposte $Y_{i}$ . Una generalizzazione dell’equazione è la seguente:

Equazione per calcolare risposte multiple Yi a partire da predittori multipli Xi usando la regressione lineare multivariata. — Esempio di regressione lineare multipla multivariata che calcola il valore MPG in città e in autostrada (come variabili di risposta, $Y_{1}$ e $Y_{2}$ ) a partire da tre variabili: passo, massa a vuoto in ordine di marcia e tipo di carburante (variabili predittive, $X_{1}$ , $X_{2}$ e $X_{3}$ ). (Guarda l’esempio di codice MATLAB e scopri come usare la funzione mvregress per stimare i coefficienti.).

Applicazioni della regressione lineare

Le regressioni lineari hanno delle proprietà che le rendono particolarmente utili per le seguenti applicazioni:

Predizioni o previsioni – Usa un modello di regressione per creare un modello di previsione per un set di dati specifico. Dal modello, è possibile usare la regressione per prevedere i valori di risposta quando sono noti solo i predittori.
Forza della regressione – Usa un modello di regressione per determinare se esiste una relazione tra una variabile e un predittore e quanto è forte quella relazione.

Regressione lineare con MATLAB

Gli ingegneri creano frequentemente dei modelli di regressione lineare semplice con MATLAB. Per la regressione lineare multipla e multivariata, è possibile utilizzare Statistics and Machine Learning Toolbox™ di MATLAB. Consente di procedere a una regressione multivariata, robusta e graduale per: